Логаритам — разлика између измена

То значи даје логаритам од 8 са базом 2 управо 3, тако да је -{log}-₂  8  =  3.

EкспоненцијаЕкспоненција се може проширити на -{''b''^''y''}-, где је -{''b''}- позитивни број и ''експонент'' ''y'' је било који [[реални број]]. На пример, -{''b''}-⁻¹ је реципрочан од -{''b''}-, то јесте, {{nowrap|1/-{''b''}-}}.

''Логаритам'' позитивног реалног броја ''x'' са базом -{''b''}-, позитивни реалан број неједнак са 1{{refn|Рестрикције на ''x'' и -{''b''}- су описане у секцији [[#Аналитичка својства|"Аналитичка својства"]].|group=nb}}, јесте експонент којим -{''b''}- мора бити степенован да се добије ''x''. Другим речима, логаритам од ''x'' за базу -{''b''}- је решење ''y'' за једначину<ref>{{Citation |last1=Kate |first1=S.K. |last2=Bhapkar |first2=H.R. |title=Basics Of Mathematics|location=Pune|publisher=Technical Publications |isbn=978-81-8431-755-8 |year=2009 |url=https://books.google.com/books?id=v4R0GSJtEQ4C&pg=PR1#v=onepage&q&f=false}}, поглавље 1</ref>

Међу свим изборима за базу, три су посебно честа. То су -{''b''}-&nbsp; =&nbsp; 10, -{''b''}-&nbsp; =&nbsp; [[Број е|-{''e''}-]] ([[Ирационалан број|ирационална]] математичка константа ≈ 2,71828), и -{''b''}-&nbsp; =&nbsp; 2. У [[Математичка анализа|математичкој анализи]], логаритам за базу -{''e''}- је раширен због својих одређених аналитичких својстава објашњених испод. У другу руку, алгоритми с базом 10 су једноставни за корисшћење за ручне прорачуне у децималном бројном систему:<ref>{{Citation|last1=Downing|first1=Douglas|title=Algebra the Easy Way|series=Barron's Educational Series|location=Hauppauge, N.Y.|publisher=Barron's|isbn=978-0-7641-1972-9|year=2003}}, chapter 17, strpp. 275</ref>

Тако, -{log}-₁₀(''x'') је везан за број [[Декадни систем|децималних бројева]] позитивног целог броја ''x'': број бројки је најмањи [[цели број]] стриктно већи од -{log}-₁₀(''x'').<ref>{{Citation|last1=Wegener|first1=Ingo| title=Complexity theory: exploring the limits of efficient algorithms|publisher=[[Springer-Verlag]]|location=Berlin, New York|isbn=978-3-540-21045-0|year=2005}}, strpp. 20</ref> На пример, -{log}-₁₀(1430) је приближно 3,15. Следећи цели број је 4, што је број цифара од 1430. И природни логаритам и логаритам за базу 2 се користе у [[информациона теорија|информационој теорији]], што одговара употреби [[Нат (јединица)|нату]] или [[Бит (рачунарство)|битовима]] као основним јединицама информације, респективно.<ref>{{citation|title=Information Theory|first=Jan C. A.|last=Van der Lubbe|publisher=Cambridge University Press|year=1997|isbn=9780521467605|page=3|url=https://books.google.com/books?id=tBuI_6MQTcwC&pg=PA3|pages=3}}</ref> Бинарни логаритми су такође кориштени у [[рачунарство|рачунарству]], где је [[бинарни бројни систем]] свеприсутан, у [[Теорија музике|музичкој теорији]], где је однос висине тона два ([[Октава (музика)|октава]]) свеприсутан и [[Цент (музика)|цент]] је бинарни логаритам (умањен за 1200) од односа између два суседна једнако смирена тона, те у [[фотографија|фотографији]] за мерење вредности излагања.<ref>{{citation|title=The Manual of Photography |first1=Elizabeth |last1=Allen |first2=Sophie |last2=Triantaphillidou|publisher=Taylor & Francis |year=2011|isbn=9780240520377|page=228|url=https://books.google.com/books?id=IfWivY3mIgAC&pg=PA228|pages=228}}</ref>

Следећа табела показује честе нотације за логаритме за ове базе и поља где се користе. Доста дисциплина пише -{log}-(''x'') уместо -{log_''b''(''x'')}-, када се изабрана база може одредити из контекста. Нотација -{^''b''log(''x'')}- такође се појављује.<ref>{{Citation| url=http://www.mathe-online.at/mathint/lexikon/l.html |author1last1=Franz Embacher |first1=Franz|author2=Petra Oberhuemer |title=Mathematisches Lexikon |publisher=mathe online: für Schule, Fachhochschule, Universität unde Selbststudium |accessdate=22. 3. 2011 |language= }}</ref> Колона "ISO нотација" показује препоруке од [[Међународна организација за стандардизацију|-{ISO}- организације]], (-{[[ISO 31-11]]}-).<ref>{{Citation| title = Guide for the Use of the International System of Units (SI)|first=B. N. |last=Taylor |publisher = US Department of Commerce|year = 1995|url = http://physics.nist.gov/Pubs/SP811/sec10.html#10.1.2}}</ref>

| -{lb(''x'')}-<ref name="gullberg">{{Citation|title = Mathematics: from the birth of numbers.|author = Gullberg, Jan|location=New York|publisher = W. W. Norton & Co|year = 1997|isbn=978-0-393-04002-9}}</ref>

| -{ld(''x''), log(''x''), lg(''x'')}-,<ref>Погледати фусноту 1 у {{cite journal|last1=Perl|first1=Yehoshua|last2=Reingold|first2=Edward M.|title=Understanding the complexity of interpolation search|journal=Information Processing Letters|date= 1977|volume=6|issue=6|pages=219–222|doi=10.1016/0020-0190(77)90072-2|pages=219–222}}</ref> -{log2(''x'')}-

| -{ln(''x'')}-{{refn|Неки математичари не подржавају ову нотацију. У његовој аутобиографији из 1985., [[Паул Халмос|Пол Халмош]] је критиковао оно што је сматрао „дечија -{ln}- notacija“, за коју је рекао да је ниједан математичар никад није користио.<ref>{{Citation

Нотацију је увео [[Irving Stringham|Ирвинг Стрингхем]], математичар.<ref>{{Citation

|year = 1893

| -{log(''x'')}-<br />(у математици <ref>видјети теорему 3.29 у {{cite book|last1=Rudin|first1=Walter|title=Principles of mathematical analysis|dateyear=1984|publisher=McGraw-Hill International|location=Auckland|isbn=978-0070856134|edition=3rd |series= International student}}</ref> и више [[програмски језик|програмских језика]]{{refn|На пример [[C (programski jezik)|-{C}-]], [[Java (programski jezik)|Јава]], [[Haskel (programski jezik)|Хаскел]] и -{[[BASIC]]}-.|group=nb}})

| различита [[инжењерство|инжењерска поља]] (погледати [[децибел]] и остало испод), <br />логаритамске [[Математичка таблица|таблице]], ручни [[Калкулатор|дигитрон]], [[спектроскопија]]

'''Историја логаритама''' у Европи у 17. веку јесте откриће нове [[функција (математика)|функције]] која је проширила стварност анализе иза опсега алгебарске методе. Методу логаритама је објавио [[Џон Непер]] 1614. године, у књизи с насловом -{''Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio''}- (''Опис чудесног правила логаритама'').<ref>{{citation |last=Napier|first=John |last=Napier |author-link=John Napier |title=Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio |trans_title=The Description of the Wonderful Rule of Logarithms |language= |location=Edinburgh, Scotland |publisher=Andrew Hart |year=1614 |url=http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=PPN527914568&DMDID=DMDLOG_0001&LOGID=LOG_0001&PHYSID=PHYS_0001 }}</ref><ref>{{Citation|first=Ernest William |last=Hobson|title=John Napier and the invention of logarithms, 1614|year=1914|publisher=The University Press|location=Cambridge|url=https://archive.org/details/johnnapierinvent00hobsiala}}</ref> Пре Наперовог изума, постојале су сличне технике сличног опсега, као што су простафереза или кориштење таблица прогресије, које је екстензивно развио [[Јост Бирги]] око 1600. године.<ref name="folkerts">{{citation |first1=Menso |last1=Folkerts |first2=Dieter |last2=Launert |first3=Andreas |last3=Thom |dateyear= 2015 |title=Jost Bürgi's Method for Calculating Sines |arxiv=1510.03180}}</ref><ref name="burgimactutor">MacTutor članak @ Jost Bürgi: http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Burgi.html</ref>

[[Општи логаритам]] броја је индекс оног степена од десет који је једнак том броју.<ref>Wиллиам Гарднер (1742) ''Таблес оф Логаритхмс''</ref> Говорећи о броју који захтева много цифара јесте груби наговјештај општег логаритма, који је спомињао [[Архимед]] као „ред броја“.<ref>R.C. Pierce (1977) "A brief history of logarithm", [[Two-Year College Mathematics Journal]] 8(1):22–6.</ref> Први реални логаритми биле су хеуристичке методе које су претварале множење у сабирање, чиме се олакшава брзо рачунање. Неке од тих метода користиле су таблице изведене из тригонометријских идентитета.<ref>Enrique Gonzales-Velasco (2011) ''Journey through Mathematics – Creative Episodes in its History'', §2.4 Hyperbolic logarithms, strpp. 117, Springer. ISBN {{page|year=|isbn=978-0-387-92153-2|pages=}}</ref> Таква метода се назива [[простафереза]].

Изум [[функција (математика)|функције]] сада познате као [[природни логаритам]] почео је као покушај да се обави [[квадратура (математика)|квадратура]] правоугаоне [[хипербола|хиперболе]] од [[Gregoire de Saint Vincent|Грегуар де Сен-Венсана]], белгијског Језуита који је боравио у Прагу. Архимед је написао ''квадратуру хиперболе'' у 3. веку п. н. е, али квадратура за хиперболу измицала је свим напорима док Сен-Венсана није објавио своје резултате 1647. године. Веза коју пружа логаритам између [[геометријска прогресија|геометријске прогресије]] у свом [[аргумент функције|аргументу]] и [[Аритметичка прогресија|аритметичке прогресије]] вредности, подстакла је [[Alphonse Antonio de Sarasa|А. А. де Сараса]] да направи везу између Сен-Венсанове квадратуре и традиције логаритама у простаферези, што је довело до појма „хиперболни логаритам“, синомним за природни логаритам. Ускоро је нова функција прихваћена од стране научника: [[Кристијан Хајгенс|Хајгенса]], Патавија, и [[James Gregory (математичар)|Џејмса Грегорија]]. Нотацију -{''Log y''}- је увео [[Готфрид Вилхелм Лајбниц|Лајбниц]] 1675. године,<ref>[[Florian Cajori]] (1913) "History of the exponential and logarithm concepts", [[American Mathematical Monthly]] 20: 5, 35, 75, 107, 148, 173, 205.</ref> а следеће године он ју је повезао са [[интеграл]]ом <math>\int \frac{dy}{y} .</math>

::"...дивљења вредно лукавство које, редуковањем на неколико дана рад од неколико месеци, умножава живот астронома, те га поштеђује грешака и гађења које узрокује дуги прорачун."<ref>{{Citation |last1=Bryant |first1=Walter W. |title=A History of Astronomy |url=https://archive.org/stream/ahistoryastrono01bryagoog#page/n72/mode/2up |publisher=Methuen & Co|location=London }}, strpp. 44</ref>

Кључни алат који је допустио практичну употребу логаритама пре дигитрона и рачунара биле су ''[[логаритамска таблица|логаритамске таблице]]''.<ref>{{Citation | last1=Campbell-Kelly | first1=Martin | title=The history of mathematical tables: from Sumer to spreadsheets | publisher=[[Oxford University Press]] | series=Oxford scholarship online | isbn=978-0-19-850841-0 | year=2003}}, sekcija 2</ref> Прву такву таблицу компајлирао је [[Henry Briggs (математичар)|Хенри Бригс]] 1617. године, одмах након Неперовог изума. Накнадно, направљене су таблице са повећаним опсегом. Ове таблице су листале вредности од -{log_''b''(''x'')}- и -{''b''^''x''}- за сваки број ''x'' у одређеном опсегу, са одређеном прецизношћу, за одређену базу -{''b''}- (често {{nowrap begin}}''b'' = 10{{nowrap end}}). На пример, Бригсова прва табела садржавала је опште логаритме свих целих бројева у низу 1–1000, са прецизношћу од 14 цифара. Како је функција {{nowrap|''f''(''x'') {{=}} ''b''^''x''}} инверзна функција од -{log_''b''(''x'')}-, била је названа '''антилогаритам'''.<ref>{{Citation|editor1-last=Abramowitz|editor1-first=Milton|editor1-link=Milton Abramowitz|editor2-last=Stegun|editor2-first=Irene A.|editor2-link=Irene Stegun |title= Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables |publisher= [[Dover Publications]]|location=New York |isbn= 978-0-486-61272-0 |edition=10th|year=1972}}, секција 4.7., стрpp. 89</ref> Производ и коефицијент од два позитивна броја -{''c''}- и -{''d''}- били су рутински рачунати као сума и разлика њихових логаритама. Производ -{''cd''}- или коефицијент -{''c''/''d''}- dолазио је од узимања антилогаритма збира или разлике, такође преко исте табеле:

Дубље студије логаритама захтевају концепт ''[[функција (математика)|функције]]''. Функција је правило које, када му се да број, производи неки други број.<ref>{{Cite book | last1=Devlin | first1=Keith | author1-link=Keith Devlin | title=Sets, functions, and logic: an introduction to abstract mathematics | publisher=Chapman & Hall/CRC | location=Boca Raton, Fla | edition=3rd | series=Chapman & Hall/CRC mathematics |id=ISBN isbn=1-58488-449-5 | year=2004 | url=https://books.google.com/books?id=uQHF7bcm4k4C&printsec=frontcover#v=onepage&q&f=false}}</ref> Пример је функција која производи {{nowrap|''x''-ти}} степен од -{''b''}- за било који реалан број ''x'', где је база -{''b''}- фиксни број. Ова се функција пише као

Ово својство може бити показано да важи за функцију {{nowrap begin}}-{''f''(''x'') = ''b''^''x''}-{{nowrap end}}. Пошто -{''f''}- узима произвољно велике и произвољно мале позитивне вредности, било који број {{nowrap|''y'' > 0}} лежи између -{''f''(''x''₀)}- и -{''f''(''x''₁)}- за одговарајући ''x''₀ анд ''x''₁. Стога, теорема о средњој вредности осигурава да једначина -{''f''(''x'') = ''y''}- има решење. Штавише, постоји само једно решене за ову једначину, јер је функција -{''f''}- [[монотона функција|строго растућа]] (за {{nowrap|-{''b''}- > 1}}), или строго опадајућа (за {{nowrap|0 < -{''b''}- < 1}}).<ref name=LangIV.2>{{Harvard citations|last1=Lang|year=1997 |nb=yes|loc=section IV.2}}</ref>

Прецизније, логаритам за сваку базу {{nowrap|-{''b''}- > 1}} је само [[растућа функција]] -{''f''}- од позитивних реалних бројева до реалних бројева који задовољавају {{nowrap begin}}-{''f''(''b'') = 1}-{{nowrap end}} и <ref>{{cite book| title=Foundations of Modern Analysis |volume=1 |last=Dieudonné |first=Jean |page=84 |year=1969 |publisher=Academic Press |pages=84}} item (4.3.1)</ref>

* {{Citation|authorlast=Colin Byfleet |first=Colin|url=http://mediasite.oddl.fsu.edu/mediasite/Viewer/?peid=003298f9a02f468c8351c50488d6c479 |title=Educational video on logarithms|accessdate=12. 10. 2010}}