Функција (математика) — разлика између измена
Садржај обрисан Садржај додат
м Поправљене везе: непрекидност → Непрекидна функција (2), изоморфизам → Изоморфизам (математика); Уклоњена веза: Функција |
. |
||
Ред 1:
[[Датотека:Function color example 3.svg|right|250p|мини|Функција која пресликава обојене облике у њихову боју.]]
[[Датотека:Graph of example function.svg|мини|250px|График примера функције,<br /> <math>\begin{align}&\scriptstyle f \colon [-1,1.5] \to [-1,1.5] \\ &\textstyle x \mapsto \frac{(4x^3-6x^2+1)\sqrt{x+1}}{3-x}\end{align}</math>]]
'''Функција''' или '''пресликавање''' је правило придруживања једног елемента из [[скуп]]а <math>\,X</math> који се тада назива [[Домен (математика)|домен]] функције,<ref>{{harvnb |Halmos |1970 |p=30}}.</ref> другом елементу из скупа <math>\,Y</math> - [[домен (математика)|кодомен]] функције, који се још назива и контрадомен функције, скуп копија, скуп слика. Домен функције <math>f</math> се често означава са <math>\mathcal{D}(f)</math>, а кодомен са <math>\mathcal{K}(f).</math><ref name=MacLane>{{cite book | last = MacLane | first = Saunders | authorlink = Saunders MacLane | last2 = Birkhoff | first2 = Garrett | author2-link = Garrett Birkhoff | title = Algebra | publisher = Macmillan | edition = First | year = 1967 | location = New York | pages = 1–13 }}</ref>
Елементи скупа <math>\,X</math> називају се аргументи, независно променљиве, оригинали пресликавања, ликови, или елементи домена. Скуп <math>Y</math> назива се кодомен (контрадомен) функције, скуп копија, слика, итд. Често се домен функције f означава са <math>\mathcal{D}(f)</math>, а кодомен понекад <math>\mathcal{K}(f).</math>
За записивање функција обично се користе неке од следећих ознака: <math>f:X\rightarrow Y,</math>, <math>f:x\rightarrow y,\; x\in X,\; y\in Y.</math> или <math>y=f(x),</math>. Опсег, распон, подручје дефиниције функције, односно домен функције <math>f</math> представља скуп вредности <math>x</math> за које функција достиже вредности <math>f(x)</math>.<ref>{{cite book |last=Hamilton |first=A. G. |title=Numbers, sets, and axioms: the apparatus of mathematics |page=83 |publisher=Cambridge University Press |isbn=0-521-24509-5 |url=https://books.google.com/books?id=OXfmTHXvRXMC&pg=PA83&dq=%22function+is+a+relation%22}}</ref>
Основна карактеристика функције је да за једну улазну вредност добија највише једна излазна вредност.
== Дефиниција ==
'''Функција''' је један од основних појмова [[математика|математике]]. Појављује се у већини области математике, у зависности од тога шта представљају [[Домен (математика)|домен]] и [[домен (математика)|кодомен]]. Функција или пресликавање је свако придруживање елемената једног скупа, елементима другог скупа при чему се сваки елемент првог скупа пресликава у тачно један елемент другог скупа.<ref>{{Cite book |url=https://ia601505.us.archive.org/20/items/HalmosP.R.FiniteDimensionalVectorSpaces.SpringerVerlag205s_201703/Halmos,%20P.%20R.%20Finite-dimensional%20vector%20spaces.%20(Springer-Verlag)(205s).pdf |title=Finite-Dimensional Vector Spaces |last=Halmos|first=Paul R.|publisher=Van Nostrand Company|year=1958|isbn=0-387-90093-4|location=New York|pages=21-25}}</ref>
=== Аналитичка дефиниција ===
Линија 18 ⟶ 20:
=== Дефиниције из теорије скупова ===
[[Датотека:Funkcija.gif|мини|Функција, односно релација <math>f=\{(a,\alpha),(b,\beta),(c,\beta)\}.\,</math> Скуп ''А'' је скуп првих елемената уређених парова, на графу то је полазни скуп стрелице и назива се [[Домен (математика)|домен]]. Скуп B назива се [[домен (математика)|кодомен]] функције.<ref>{{cite book |title=Calculus vol 1 |first=Tom |last=Apostol |authorlink=Tom M. Apostol |page=53 |publisher=John Wiley |isbn=0-471-00005-1 |year=1967}}</ref><ref>{{cite book |last=Heins |first=Maurice |title=Complex function theory |publisher=Academic Press |year=1968 |page=4 |url=https://books.google.com/books?id=OtyBXTOTwZoC&pg=PA4}}</ref> ]]
[[Скуп]] се у математици узима за основни појам. [[Декартов производ|Декартов производ скупова]] је скуп уређених парова. [[Уређени пар]] елемената чине било каква два елемента за које је важан поредак. [[Релација (математика)|Релација]] је непразан подскуп Декартовог производа скупова, а функција је једна врста релације.
Линија 78 ⟶ 80:
Под [[функција реалне променљиве|функцијом реалне променљиве]], мисли се на функцију <math>f:X\rightarrow Y,</math> где је <math>X \subseteq \mathbb{R}</math> и <math>Y = \mathbb{R}.</math> Другим речима, функција реалне променљиве је свака функција чији је домен подскуп скупа реалних бројева <math>\mathbb{R}</math> или цео скуп <math>\mathbb{R}</math>, а кодомен јој је <math>\mathbb{R}</math>.
Следећа табела садржи неколико посебно важних типова функција реалне вредности:
{| class="wikitable" style="text-align: center;"
|-
! style="width: 50%;"| [[Линеарна функција]] !! style="width: 50%;"| [[Квадратна функција]]
|-
| [[File:Gerade.svg|thumb|Линеарна функција|center]] || [[File:Polynomialdeg2.svg|thumb|Квадратна функција.|center]]
|-
| ''f''(''x'') = ''ax'' + ''b''. || ''f''(''x'') = ''ax''<sup>2</sup> + ''bx'' + ''c''.
|-
! [[Непрекидна функција|Дисконтинуирана функција]] !! [[Тригонометријске функције]]
|-
| [[File:Signum function.svg|thumb|[[Сигнум функција]] није непрекидна, пошто „скаче“ у 0.|center]] ||
[[File:Sine cosine one period.svg|thumb|Синусне и косинусне функције.|center]]
|-
| Грубо речено, непрекидна функција је она чији график се може нацртати без подизања оловке. || ''f''(''x'') = sin(''x'') (црвено), ''f''(''x'') = cos(''x'') (плаво)
|}
== Парност функције ==
Линија 122 ⟶ 141:
За функцију која задовољава ово својство (тј. било које од четири наведена својства) кажемо да је ''монотона'' на [[домен (математика)|кодомену]]. Специјално, за функцију која задовољава друго или четврто својство од четири наведена, кажемо да је ''строго монотона'' на кодомену.
== Инверзна функција ==
{{главни|Инверзна функција}}
Ако је -{ƒ}- функција од ''X'' до ''Y'', тада је '''инверзна функција''' за -{ƒ}-, означена са -{ƒ<sup>−1</sup>}-, функција у супротном смеру, од ''Y'' до ''X'', са особином да [[композиција функција|композиција]] враћа сваки елемент у самог себе. Свака функција не поседује своју инверзну функцију; оне које је имају називају се '''инверзабилним'''.
Као пример, ако је -{ƒ}- конвертује температуру из [[Степен целзијуса|Целзијуса]] у [[Фаренхајт]]е, функција која конвертује степене Фаренхајта у степене Целзијуса би била одговарајућа функција -{ƒ<sup>−1</sup>}-.
:<math>\begin{align}
f(C) &= \tfrac95 C + 32 \\
f^{-1}(F) &= \tfrac59 (F - 32)
\end{align}</math>
==Испитивање тока функције==
Испитивање тока функције <math>f(x)</math> се састоји од одређивања низа својстава.
=== Подручје дефиниције ===
За одређивање подручја дефиниције функције <math>f(x)</math> потребно је познавати елементарне функције
===Парност ===
Парност функције <math>f(x)</math> проверава се помоћу дефиниције:
Функција <math>f(x)</math> је парна ако је <math>f(-x)=f(x)</math> за сваки <math>x\in \mathcal{D}</math>, а непарна ако је <math>f(-x)=-f(x</math>) за сваки <math>x\in \mathcal{D}</math>. Код парне и непарне функције подручје дефиниције мора бити симетрично у односу на координантни почетак <math>O(0,0)</math>.
;Primer
<math>\displaystyle x^n, \qquad n\in\mathbb{N}</math>
је парна за <math>n=2k</math> паран, а непарна за <math>n=2k+1</math> непаран, па је:
<math>\displaystyle f(-x)=(-x)^n=(-1)^n x^n=(-1)^n f(x)</math>.
Функција <math>\vert x\vert</math> је парна: ако је <math>x>0</math>, тада је <math>-x<0</math> па вреди
<math>\displaystyle \vert-x\vert=-(-x)=x=\vert x\vert</math>
За <math>x<0</math> je <math>-x>0</math> па вреди
<math>\displaystyle \vert-x\vert=-x=\vert x\vert</math>
=== Периодичност===
Периодичност функције проверава се помоћу дефиниције
;Функција <math>f(x)</math> је периодична ако постоји број <math>P\neq 0</math> такав да за сваки <math>x\in \mathcal{D}</math> вреди
;<math>\displaystyle f(x+P)=f(x)</math>
Тада мора вредити <math>x+P\in\mathcal{D}</math>. Најмањи такав позитивни број <math>P</math> основни период или период функције <math>f(x)</math>.
Примери периодичних функција су [[тригонометријске функције]].
Елементарна функција не може бити периодична ако не садржи неку од тригонометријских функција.
=== Нула функције ===
Нула функције одређују се решавањем једначине <math>f(x)=0</math>
=== Асимптоте функције===
Асимптоте могу бити вертикалне, хоризонталне и косе. Одређују се налажењем лимеса и [[Лопиталово правило|Лопиталовим правилом]], ако је потребно.
Асимптота функције је права са особином да удаљеност између тачке на графику функције и те праве тежи ка нули <math>(0</math>) када тачка на графику одмиће у бесконачност.
Права <math>x=x_0</math> је вертикална асимптота функције <math>f(x)</math> у тачки
<math>x_0</math> с леве стране ако је <math>\lim_{x\to x_0-0}f(x)=+\infty</math> или
<math>\lim_{x\to x_0-0}f(x)=-\infty</math>.
Права <math>x=x_0</math> је вертикална асимптота функције <math>f(x)</math> у тачки <math>x_0</math> с десне стране ако је
<math>\lim_{x\to x_0+0}f(x)=+\infty</math> или
<math>\lim_{x\to x_0+0}f(x)=-\infty</math>.
Вертикалне асимптоте се могу налазити у тачкама прекида функције или у отвореним рубовима подручја дефиниције.
;Пример
[[Датотека:Bekesib.JPG|мини|260п|Координатне осе као асимптоте функције <math>\frac{1}{x}</math>]]
Права <math>x=0</math> је вертикална асимптота функције <math>\frac{1}{x}</math> с обе стране.
Права <math>x=0</math> је вертикална асимптота функције <math>\ln x</math>, <math>\log x</math> i <math>\log_2 x</math> с десне стране. У овом случају вертикална асимптота се налази у рубу подручја дефиниције.
Права <math>y=y_0</math> је хоризонтална асимптота функције <math>f(x)</math> на левој страни ако је <math>\lim_{x\to -\infty}f(x)=y_0</math>.
Права <math>y=y_0</math> је хоризонтална асимптота функције <math>f(x)</math> на десној страни ако је <math>\lim_{x\to +\infty}f(x)=y_0</math>.
;Пример
Права <math>y=0</math> је хоризонтална асимптота функције <math>\frac{1}{x}</math> на обе стране, као и <math>y=0</math> хоризонтална асимптота функција <math>2^x</math> и <math>e^x</math> на левој страни.
Ако је
<math>\displaystyle \lim_{x\to -\infty}\frac{f(x)}{x}=k, \qquad \lim_{x\to -\infty} (f(x)-kx)=l,</math>
при чему је
<math>\displaystyle k\neq 0,-\infty,+\infty, \qquad l\neq -\infty,+\infty</math> тада је права <math>y=kx+l</math> коса асимптота функције <math>f(x)</math> са леве стране.
Косу асимптоту функције <math>f(x)</math> са десне стране дефинишемо аналогно.
Удаљеност од тачке на кривој до асимптоте је <math>d(M,L)</math>. Према дефиницији асимптоте <math>d(M,L)\to 0</math> када <math>x\to +\infty</math>. Kako je <math>\cos \alpha\neq 0</math> константа, закључујемо да
<math>\displaystyle d(M,L)\to 0 \quad \Leftrightarrow \quad d(M,N)\to 0 \quad \Leftrightarrow \quad \lim_{x\to +\infty} \vert f(x)-(kx+l)\vert=0</math>.
Задњи услов, који је еквивалентан са
<math>\displaystyle \lim_{x\to +\infty} (f(x)-kx-l)=0</math> је нужан и довољан услов за постојање косе асимптоте.
Горња једнакост је еквивалентна са
<math>\lim_{x\to +\infty} (f(x)-kx)=l</math>.
<math>\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \frac{f(x)-kx-l}{x}=0</math>
па је
<math> \lim_{x\to +\infty} \frac{f(x)}{x}=k</math>.
При томе треба водити рачуна о следећем:
# тражење хоризонталних и косих асимптота лимеса када <math>x\to -\infty</math>
# асимптоте је најбоље тражити у описаном редоследу, <math>x\to +\infty</math> увек треба рачунати посебно
# треба обратити пажњу на случаје парних корена када <math>x\to -\infty</math>,
;Пример
<math>\displaystyle \lim_{x\to -\infty} \frac{\sqrt{x^2}}{x}= -\lim_{x\to +\infty} \frac{\sqrt{x^2}}{x}=-1</math>.
===Екстреми функције===
Код одређивања екстрема функције потребно је проверити нужне и довољне услове екстрема.
Провера нужних услова врши се по теорему
Нека је функција <math>f(x)</math> непрекидна у тачки <math>c</math>. Ако функција <math>f(x)</math> има локални екстрем у тачки <math>c</math>, тада је <math>c</math> критична тачка функције <math>f(x)</math>.
Потребно је начи стационарне и критичне тачке по дефиницији
Нека је функција <math>f(x)</math> непрекидна у тачки <math>c</math>. Тачка <math>c</math> је стационарна тачка функције <math>f(x)</math> ако је <math>f'(c)=0</math>. Тачка <math>c</math> је критична тачка функције <math>f(x)</math>, ако је <math>c</math> стационарна тачка или ако <math>f(x)</math> није диференцијабилна у тачки <math>c</math>.
Потребно је одредити подручје дефиниције првог извода <math>f'(x)</math> и решити једначину <math>f'(x)=0</math>.
Провера довољних услова може се вршити на три начина:
* помоћу промене предзнака првог извода на основу теореме: Ако први извод <math>f'(x)</math> мења предзнак у критичној тачки <math>c</math>, тада функција <math>f(x)</math> има локални екстрем у тачки <math>c</math>. При томе вреди следеће: ако <math>f'(x)</math> мења предзнак са <math>-</math> на <math>+</math>, тада је <math>f(c)</math> локални минимум, а ако <math>f'(x)</math> мења предзнак са <math>+</math> на <math>-</math>, тада је <math>f(c)</math> локални максимум.
* помоћу другог извода на основу теореме: Нека је у стационарној тачки <math>c</math> функција <math>f(x)</math> два пута диференцијабилна. Ако је <math>f''(c)\neq 0</math>, тада функција <math>fx)</math> има локални екстрем у тачки <math>c</math>. При томе вреди сљедеће: ако је <math>f''(c)>0</math>, тада је <math>f(c)</math> локални минимум, а ако је <math>f''(c)<0</math>, тада је <math>f(c)</math> локални максимум.
* помоћу виших извода на основу теореме: Нека функција <math>f(x)</math> има у некој <math>\varepsilon</math> - околини тачке <nowiki>c</nowiki> непрекидног извода до укључиво реда <math>n</math>, при чему је <math>n\geq 3</math>. Нека је <math>\displaystyle f''(c)=f'''(c)=\cdots=f^{(n-1)}(c)=0, \qquad f^{(n)}(c)\neq 0.</math> Ако је <math>n</math> neparan, тада функција <math>f(x)</math> има инфлексију у тачки <math>c</math>. Ако је <math>n</math> паран и ако је уз то још и <math>f'(c)=0</math>, тада функција <math>f(x)</math> има локални екстрем у тачки <math>c</math> и то минимум за <math>f^{(n)}(c)>0</math> и максимум за <math>f^{(n)}(c)<0</math>.
===Интервали монотоности===
Након налажења првог извода <math>f'(x)</math> функције <math>f(x)</math> интервали монотоности се одређују по предзнаку од <math>f'(x)</math> на основу теореме: Нека је функција <math>f(x)</math> диференцијабилна на интервалу <math>(a,b)</math>. Тада вреди
* функција <math>f(x)</math> је растућа на интервалу <math>(a,b)</math> ако и само ако је <math>f'(x)\geq 0</math> за сваки <math>x\in(a,b)</math>
* Функција <math>f(x)</math> је опадајућа на интервалу <math>(a,b)</math> ако и само ако је <math>f'(x)\leq 0</math> за сваки <math>x\in(a,b)</math>
* Ако је <math>f'(x)>0</math> за сваки <math>x\in(a,b)</math>, тада је функција <math>f(x)</math> строго растућа на интервалу <math>(a,b</math>
* Ако је <math>f'(x)<0</math> за сваки <math>x\in(a,b)</math>, тада је функција <math>f(x)</math> строго опадајућа на интервалу <math>(a,b)</math>.
===Конкавност и конвексност функције===
Потребно је одредити други извод <math>f''(x)</math>, а затим интервале конвексности и конкавности помоћу теореме
: Нека је функција <math>f(x)</math> два пута деиференцијабилна на интервалу <math>(a,b)</math>. Ако је <math>f''(x)>0</math> за сваки <math>x\in(a,b)</math>, тада је функција <math>f(x)</math> строго конвексна на интервалу <math>(a,b)</math>. Ако је <math>f''(x)<0</math> за сваки <math>x\in(a,b)</math>, тада је функција <math>f(x)</math> строго конкавна на интервалу <math>(a,b)</math>.
===Тачке инфлексије===
Потребно је наћи тачке у којима други извод <math>f''(x)</math> мења предзнак, односно тачке које испуњавају довољне услове инфлексије по теореми
: Нека је функција два пута деференцијабилна на некој <math>\varepsilon</math> околини тачке <math>c</math>, осим можда у тачки <math>c</math>. Ако <math>f''(x)</math> мења предзнак у тачки <math>c</math>, тада функција <math>f(x)</math> има инфлексију у тачки <math>c</math>.
За провјеру довољних услова инфлексије можемо користити и више изводе на основу теореме
: Нека функција <math>f(x)</math> има у некој <math>\varepsilon</math> околини тачке <math>c</math> непрекидне изводе до укључиво реда <math>n</math>, при чему је <math>n\geq 3</math>. Нека је
: <math>\displaystyle f''(c)=f'''(c)=\cdots=f^{(n-1)}(c)=0, \qquad f^{(n)}(c)\neq 0.</math>
Ако је <math>n</math> непаран, тада функција <math>f(x)</math> iма инфлексију у тачки <math>c</math>. Ако је <math>n</math> паран и ако је уз то још и <math>f'(c)=0</math>, тада функција <math>f(x)</math> има локални екстрем у тачки <math>c</math> и то минимум за <math>f^{(n)}(c)>0</math> и максимум за <math>f^{(n)}(c)<0</math>.
У том случају потребно је прво наћи тачке у којима је други извод <math>f''(x)</math> једнак нули, односно тачке које задовољавају нужан услов инфлексије по теореми
: Ако функција <math>f(x)</math> има инфлексију у тачки <math>c</math> и ако <math>f''(c)</math> постоји, тада је <math>f''(c)=0</math>.
===Граф функције===
График функције се црта на основу добијених информација.<ref>{{cite book |title=Theory of Recursive Functions and Effective Computation |author=Hartley Rogers, Jr |authorlink=Hartley Rogers, Jr |publisher=MIT Press |pages=1–2 |year=1987 |isbn=0-262-68052-1}}</ref>
== Остале особине ==
Постоји много посебних класа функција које су важне за појединачне гране математике, или за појединачне примене.
Ово је делимичан списак таквих функција:
{{columns-list|3|
* бијекција, инјекција и сурјекција, или појединачно:
** [[инјективна функција|инјективна]], [[сурјективна функција|сурјективна]] и [[бијекција|бијективна функција]]
* [[непрекидна функција|непрекидна]]
* [[диференцијабилна функција]], [[интеграбилна функција|интеграбилна]]
* [[линеарна функција|линеарна]], [[полином]]и, [[рационална функција|рационална]]
* [[алгебарска функција|алгебарска]], [[трансцендентална функција|трансцендентална]]
* [[тригонометријска функција|тригонометријска]]
* [[фрактал]]
* [[Парност функције|парна или непарна]]
* [[конвексна функција|конвексна]], [[монотона функција|монотона]], [[једномодална функција|једномодална]]
* [[холоморфска функција|холоморфска]], [[Мероморфска функција|мероморфска]], [[цела функција|цела]]
* [[векторкса функција|векторска]]
* [[израчунљиве функције|израчунљиве]]
* [[функција целог дела]]
* [[функција реалне променљиве]]
}}
== Види још ==
{{refbegin|15em}}
* [[Функција (топологија)]]
* [[Бијекција]]
Линија 141 ⟶ 348:
* [[Периодичност функције]]
* [[Монотоност функције]]
{{refend}}
== Референце ==
{{reflist|30em}}
== Литература ==
{{refbegin|30em}}
* Душан Аднађевић, Зоран Каделбург: Математичка анализа 1, Студентски трг, Београд, 1995.
* {{cite book |ref=harv |last=Bartle |first=Robert |authorlink=Robert G. Bartle |title=The Elements of Real Analysis |year=1967|publisher=John Wiley & Sons}}
* {{cite book |ref=harv |last=Bloch |first=Ethan D. |title=Proofs and Fundamentals: A First Course in Abstract Mathematics |publisher=Springer |year=2011|isbn=978-1-4419-7126-5 |url=https://books.google.com/books?id=QJ_537n8zKYC}}
* {{cite book |ref=harv |last=Halmos |first=Paul R. |authorlink=Paul Halmos |year=1970 |title=Naive Set Theory |publisher=Springer-Verlag |isbn=0-387-90092-6 |url=https://books.google.com/books?id=x6cZBQ9qtgoC}}
* {{cite book |ref=harv |title=Calculus |first=Michael |last=Spivak |authorlink=Michael Spivak |edition=4th |year=2008 |publisher=Publish or Perish |isbn=978-0-914098-91-1 |url=https://books.google.com/books?id=7JKVu_9InRUC}}
* {{Cite book |last=Anton |first=Howard |title=Calculus with Analytical Geometry |year=1980 |publisher=[[John Wiley & Sons|Wiley]] |isbn=978-0-471-03248-9}}
* {{Cite book |last=Bartle |first=Robert G. |title=The Elements of Real Analysis |edition=2nd |year=1976 |publisher=Wiley |isbn=978-0-471-05464-1}}
* {{Cite book |title=The Concept of Function: Aspects of Epistemology and Pedagogy|publisher=Mathematical Association of America |year=1992 |first1=Ed |last1=Dubinsky |first2=Guershon |last2=Harel |isbn=0-88385-081-8}}
* {{Cite book |last=Hammack |first=Richard |title=Book of Proof |year=2009 |publisher=[[Virginia Commonwealth University]] |url=http://www.people.vcu.edu/~rhammack/BookOfProof/ |chapter=12. Functions |chapter-url=http://www.people.vcu.edu/~rhammack/BookOfProof/Functions.pdf |accessdate=2012-08-01}}
* {{Cite book |last=Husch |first=Lawrence S. |title=Visual Calculus |year=2001 |publisher=[[University of Tennessee]] |url=http://archives.math.utk.edu/visual.calculus/ |accessdate=2007-09-27}}
* {{Cite book |last=Katz |first=Robert |title=Axiomatic Analysis |year=1964 |publisher=[[D. C. Heath and Company]]}}
* {{Cite book |title=Evolution of the Function Concept: A Brief Survey |first=Israel |last=Kleiner |journal=The College Mathematics Journal |volume=20 |issue=4 |year=1989 |pages=282–300 |doi=10.2307/2686848|jstor=2686848 |publisher=Mathematical Association of America}}
* {{Cite book |title=The Cambridge History of Science: The modern physical and mathematical sciences |chapter=Between rigor and applications: Developments in the concept of function in mathematical analysis |first=Jesper |last=Lützen |url=https://books.google.com/books?id=B3WvWhJTTX8C&pg=PA468 |editor=Roy Porter |publisher=Cambridge University Press |year=2003 |isbn=0521571995}} An approachable and diverting historical presentation.
* {{Cite book |title=Historical and pedagogical aspects of the definition of function |last=Malik |first=M. A. |journal=International Journal of Mathematical Education in Science and Technology |volume=11 |issue=4 |year=1980 |pages=489–492 |doi=10.1080/0020739800110404}}
* Reichenbach, Hans (1947) ''Elements of Symbolic Logic'', Dover Publishing Inc., New York NY, ISBN 0-486-24004-5.
* {{Cite book |last=Ruthing |first=D. |title=Some definitions of the concept of function from Bernoulli, Joh. to Bourbaki, N. |journal=Mathematical Intelligencer |volume=6 |issue=4 |pages=72–77 |year=1984}}
* {{Cite book |last1=Thomas |first1=George B. |last2=Finney |first2=Ross L. |title=Calculus and Analytic Geometry |edition=9th |year=1995 |publisher=[[Addison-Wesley]] |isbn=978-0-201-53174-9}}
{{refend}}
== Спољашње везе ==
{{Commonscat|Functions}}
* [http://functions.wolfram.com/functions.html списак категорија математичких функција]
* -{[https://www.khanacademy.org/math/algebra/algebra-functions Khan Academy: Functions, free online micro lectures]}-
* {{springer|title=Function|id=p/f041940}}
* {{MathWorld| title=Function| id=Function}}
* -{[http://functions.wolfram.com/ The Wolfram Functions Site] }-
* -{[http://www.shodor.org/interactivate/activities/FunctionFlyer/ Shodor: Function Flyer]}-
* -{[http://math.hws.edu/xFunctions/ xFunctions]}-
* -{[http://rechneronline.de/function-graphs/ Draw Function Graphs]}-
* -{[http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/FunctionMain.shtml Functions]}-
* -{[http://www.apronus.com/provenmath/cartesian.htm Function at ProvenMath]}-
* -{[http://sporkforge.com/math/fcn_graph_eval.php Comprehensive web-based function graphing & evaluation tool]}-
* -{[http://www.abstractmath.org/MM/MMFunctions.htm Abstractmath.org articles on functions]}-
{{Authority control}}
[[Категорија:Математика]]
| |||