Ранг матрице — разлика између измена
Садржај обрисан Садржај додат
мНема описа измене |
м наводници |
||
Ред 1:
'''Ранг матрице''' је један од најважнијих појмова [[линеарна алгебра|линеарне алгебре]], области [[математика|математике]]. У извесном смислу, ранг мери
==Дефиниција==
Постоји неколико еквивалентних дефиниција ранга матрице. Најчешће се он дефинише као димензија [[слика матрице|слике матрице]], односно као [[димензија векторског простора|димензија]] [[векторски простор|простора]] који [[генератриса|генеришу]] (каткад се каже и
Векторски простор који генеришу колоне матрице назива се и њеним простором колона, а његова димензија '''рангом колона'''. Аналогно, простор врста је векторски простор који генеришу врсте матрице, док његову димензију називамо '''рангом врста'''. Ранг врста и ранг колона сваке матрице су једнаки, одакле и за оба назив
Елементарне операције над врстама и колонама матрице не мењају њен ранг. Стога [[еквивалентне матрице|еквивалентне]] (и посебно [[сличне матрице|сличне]]) матрице имају једнак ранг. Све матрице [[линеарно пресликавање|линеарног пресликавања]] између два векторска простора у односу на произвољан пар њихових [[база векторског простора|база]] су еквивалентне; њихов заједнички ранг се назива и рангом датог линеарног пресликавања и једнак је димензији његове слике. Ранг матрице је такође једнак броју водећих колона у [[по врстама сведени ешелонски облик|по врстама сведеном ешелонском облику]] матрице; ова дефиниција се често користи у уводним курсевима линеарне алгебре. Алтернативно, матрица се може коришћењем елементарних операција и над врстама и над колонама свести на тачно једну еквивалентну јој матрицу чији су сви елементи нуле изузев што на извесном броју првих места дуж главне дијагонале стоје јединице; ранг полазне матрице једнак је броју јединица у њеном тако сведеном облику.
Ред 11:
==Својства ранга==
Ранг -{''m''×''n''}- матрице је [[цео број]] између 0 и -{min(''m'',''n'')}-. Једина матрица ранга нула је [[нула-матрица]]. Квадратна матрица реда -{''n''}- је ранга -{''n''}- ако и само ако је инверзибилна, стога за инверзибилне матрице кажемо и да су
Линеарно пресликавање -{''L'' : '''R'''<sup>''n''</sup> → '''R'''<sup>''m''</sup>}- је мономорфизам ([[инјекција (математика)|инјективно]]) ако и само је -{''r''(''L'') = ''n''}-, а епиморфизам ([[сурјекција|сурјективно]]) ако и само ако је -{''r''(''L'') = ''m''}-. За -{''m'' × ''n''}- матрицу кажемо да је "пуног ранга колона" ако је -{''r''(''A'') = ''n''}-, односно "пуног ранга врста" ако је -{''r''(''A'') = ''m''}-.
| |||