Википедија

Логаритам — разлика између измена

Интерактиван преглед историје
← Старија изменаНовија измена →
Садржај обрисан Садржај додат
ВизуелноВикитекст
Autobot (разговор | доприноси)
1.572.075 измена
м Разне исправке
Autobot (разговор | доприноси)
1.572.075 измена
м Разне исправке; козметичке измене
Ред 110:
 
== Одређене базе ==
Међу свим изборима за базу, три су посебно честа. То су -{''b''}- = 10, -{''b''}- = [[Број е|-{''e''}-]] ([[Ирационалан број|ирационална]] математичка константа ≈ 2,71828), и -{''b''}- = 2. У [[Математичка анализа|математичкој анализи]], логаритам за базу -{''e''}- је раширен због својих одређених аналитичких својстава објашњених испод. У другу руку, алгоритми с базом 10 су једноставни за корисшћење за ручне прорачуне у децималном бројном систему:<ref>{{Citation|last1=Downing|first1=Douglas|title=Algebra the Easy Way|series=Barron's Educational Series|location=Hauppauge, N.Y.|publisher=Barron's|isbn=978-0-7641-1972-9|year=2003}}, chapter 17,. ppстр. 275.</ref>
:<math>\log_{10}(10 x) = \log_{10}(10) + \log_{10}(x) = 1 + \log_{10}(x).\ </math>
Тако, -{log}-<sub>10</sub>(''x'') је везан за број [[Декадни систем|децималних бројева]] позитивног целог броја ''x'': број бројки је најмањи [[цео број|цели број]] стриктно већи од -{log}-<sub>10</sub>(''x'').<ref>{{Citation|last1=Wegener|first1=Ingo| title=Complexity theory: exploring the limits of efficient algorithms|publisher=[[Springer-Verlag]]|location=Berlin, New York|isbn=978-3-540-21045-0|year=2005}},. ppстр. 20.</ref> На пример, -{log}-<sub>10</sub>(1430) је приближно 3,15. Следећи цели број је 4, што је број цифара од 1430. И природни логаритам и логаритам за базу 2 се користе у [[теорија информације|информационој теорији]], што одговара употреби [[Нат (јединица)|нату]] или [[Бит (рачунарство)|битовима]] као основним јединицама информације, респективно.<ref>{{citation|title=Information Theory|first=Jan C. A.|last=Van der Lubbe|publisher=Cambridge University Press|year=1997|isbn=9780521467605|url=https://books.google.com/books?id=tBuI_6MQTcwC&pg=PA3|pages=3}}</ref> Бинарни логаритми су такође кориштени у [[рачунарство|рачунарству]], где је [[бинарни систем|бинарни бројни систем]] свеприсутан, у [[Теорија музике|музичкој теорији]], где је однос висине тона два ([[Октава (музика)|октава]]) свеприсутан и [[Цент (музика)|цент]] је бинарни логаритам (умањен за 1200) од односа између два суседна једнако смирена тона, те у [[фотографија|фотографији]] за мерење вредности излагања.<ref>{{citation|title=The Manual of Photography |first1=Elizabeth |last1=Allen|first2=Sophie |last2=Triantaphillidou|publisher=Taylor & Francis |year=2011|isbn=9780240520377|url=https://books.google.com/books?id=IfWivY3mIgAC&pg=PA228|pages=228}}</ref>
 
Следећа табела показује честе нотације за логаритме за ове базе и поља где се користе. Доста дисциплина пише -{log}-(''x'') уместо -{log<sub>''b''</sub>(''x'')}-, када се изабрана база може одредити из контекста. Нотација -{<sup>''b''</sup>log(''x'')}- такође се појављује.<ref>{{Citation| url=http://www.mathe-online.at/mathint/lexikon/l.html |last1=Embacher|first1=Franz|author2last2=Petra Oberhuemer |first2=Petra|title=Mathematisches Lexikon |publisher=mathe online: für Schule, Fachhochschule, Universität unde Selbststudium |accessdate=22. 3. 2011 |language= }}</ref> Колона "ISO нотација" показује препоруке од [[Међународна организација за стандардизацију|-{ISO}- организације]], (-{[[ISO 31-11]]}-).<ref>{{Citation| title = Guide for the Use of the International System of Units (SI)|first=B. N. |last=Taylor|publisher = US Department of Commerce|year=1995|url = http://physics.nist.gov/Pubs/SP811/sec10.html#10.1.2}}</ref>
 
{| class="wikitable" style="text-align:center; margin:1em auto 1em auto;"
Ред 164:
'''Историја логаритама''' у Европи у 17. веку јесте откриће нове [[функција (математика)|функције]] која је проширила стварност анализе иза опсега алгебарске методе. Методу логаритама је објавио [[Џон Непер]] 1614. године, у књизи с насловом -{''Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio''}- (''Опис чудесног правила логаритама'').<ref>{{citation |last=Napier|first=John|author-link=John Napier |title=Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio |trans_title=The Description of the Wonderful Rule of Logarithms |language= |location=Edinburgh, Scotland |publisher=Andrew Hart |year=1614|url=http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=PPN527914568&DMDID=DMDLOG_0001&LOGID=LOG_0001&PHYSID=PHYS_0001 }}</ref><ref>{{Citation|first=Ernest William |last=Hobson|title=John Napier and the invention of logarithms, 1614|year=1914|publisher=The University Press|location=Cambridge|url=https://archive.org/details/johnnapierinvent00hobsiala}}</ref> Пре Наперовог изума, постојале су сличне технике сличног опсега, као што су простафереза или кориштење таблица прогресије, које је екстензивно развио [[Јост Бирги]] око 1600. године.<ref name="folkerts">{{citation |first1=Menso |last1=Folkerts|first2=Dieter |last2=Launert|first3=Andreas |last3=Thom|year=2015|title=Jost Bürgi's Method for Calculating Sines |arxiv=1510.03180}}</ref><ref name="burgimactutor">MacTutor članak @ Jost Bürgi: http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Burgi.html</ref>
 
[[Општи логаритам]] броја је индекс оног степена од десет који је једнак том броју.<ref>Wиллиам Гарднер (1742) ''Таблес оф Логаритхмс''</ref> Говорећи о броју који захтева много цифара јесте груби наговјештај општег логаритма, који је спомињао [[Архимед]] као „ред броја“.<ref>R.C. Pierce (1977) "A brief history of logarithm", [[Two-Year College Mathematics Journal]] 8(1):22–6.</ref> Први реални логаритми биле су хеуристичке методе које су претварале множење у сабирање, чиме се олакшава брзо рачунање. Неке од тих метода користиле су таблице изведене из тригонометријских идентитета.<ref>Enrique Gonzales-Velasco (2011) ''Journey through Mathematics – Creative Episodes in its History'', §2.4 Hyperbolic logarithms,. ppстр. 117, Springer. {{page|year=1742|isbn=978-0-387-92153-2|pages=}}</ref> Таква метода се назива [[простафереза]].
 
Изум [[функција (математика)|функције]] сада познате као [[природни логаритам]] почео је као покушај да се обави [[квадратура (математика)|квадратура]] правоугаоне [[хипербола|хиперболе]] од [[Gregoire de Saint Vincent|Грегуар де Сен-Венсана]], белгијског Језуита који је боравио у Прагу. Архимед је написао ''квадратуру хиперболе'' у 3. веку п. н. е, али квадратура за хиперболу измицала је свим напорима док Сен-Венсана није објавио своје резултате 1647. године. Веза коју пружа логаритам између [[геометријска прогресија|геометријске прогресије]] у свом [[аргумент функције|аргументу]] и [[Аритметичка прогресија|аритметичке прогресије]] вредности, подстакла је [[Alphonse Antonio de Sarasa|А. А. де Сараса]] да направи везу између Сен-Венсанове квадратуре и традиције логаритама у простаферези, што је довело до појма „хиперболни логаритам“, синомним за природни логаритам. Ускоро је нова функција прихваћена од стране научника: [[Кристијан Хајгенс|Хајгенса]], Патавија, и [[James Gregory (математичар)|Џејмса Грегорија]]. Нотацију -{''Log y''}- је увео [[Готфрид Вилхелм Лајбниц|Лајбниц]] 1675. године,<ref>[[Florian Cajori]] (1913) "History of the exponential and logarithm concepts", [[American Mathematical Monthly]] 20: 5, 35, 75, 107, 148, 173, 205.</ref> а следеће године он ју је повезао са [[интеграл]]ом <math>\int \frac{dy}{y} .</math>
Ред 173:
Поједностављењем тешких прорачуна, логаритми су допринијели развоју науке, нарочито [[астрономија|астрономије]]. Били су значајни за напредак у [[анкета|анкетирање]], [[небеска навигација|небеској навигацији]] и другим доменама. [[Пјер Симон Лаплас]] називао је логаритме:
 
::"...дивљења вредно лукавство које, редуковањем на неколико дана рад од неколико месеци, умножава живот астронома, те га поштеђује грешака и гађења које узрокује дуги прорачун."<ref>{{Citation |last1=Bryant|first1=Walter W. |title=A History of Astronomy |url=https://archive.org/stream/ahistoryastrono01bryagoog#page/n72/mode/2up |publisher=Methuen & Co|location=London }},. ppстр. 44.</ref>
 
Кључни алат који је допустио практичну употребу логаритама пре дигитрона и рачунара биле су ''[[логаритамска таблица|логаритамске таблице]]''.<ref>{{Citation | last1=Campbell-Kelly | first1=Martin | title=The history of mathematical tables: from Sumer to spreadsheets | publisher=[[Oxford University Press]] | series=Oxford scholarship online |isbn=978-0-19-850841-0 |year=2003}}, sekcija 2</ref> Прву такву таблицу компајлирао је [[Henry Briggs (математичар)|Хенри Бригс]] 1617. године, одмах након Неперовог изума. Накнадно, направљене су таблице са повећаним опсегом. Ове таблице су листале вредности од -{log<sub>''b''</sub>(''x'')}- и -{''b''<sup>''x''</sup>}- за сваки број ''x'' у одређеном опсегу, са одређеном прецизношћу, за одређену базу -{''b''}- (често {{nowrap begin}}''b'' = 10{{nowrap end}}). На пример, Бригсова прва табела садржавала је опште логаритме свих целих бројева у низу 1–1000, са прецизношћу од 14 цифара. Како је функција {{nowrap|''f''(''x'') {{=}} ''b''<sup>''x''</sup>}} инверзна функција од -{log<sub>''b''</sub>(''x'')}-, била је названа '''антилогаритам'''.<ref>{{Citation|editor1-last=Abramowitz|editor1-first=Milton|editor1-link=Milton Abramowitz|editor2-last=Stegun|editor2-first=Irene A.|editor2-link=Irene Stegun |title= Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables |publisher= [[Dover Publications]]|location=New York |isbn= 978-0-486-61272-0 |edition=10th|year=1972}}, секција 4.7.,. ppстр. 89.</ref> Производ и коефицијент од два позитивна броја -{''c''}- и -{''d''}- били су рутински рачунати као сума и разлика њихових логаритама. Производ -{''cd''}- или коефицијент -{''c''/''d''}- dолазио је од узимања антилогаритма збира или разлике, такође преко исте табеле:
:<math> c d = b^{\log_b (c)} \, b^{\log_b (d)} = b^{\log_b (c) + \log_b (d)} \,</math>
и
Преузето из „https://sr.wikipedia.org/wiki/Логаритам”