|
=== Површина круга ===
InУ the5. 5thвеку centuryп. н. BCEе, [[HippocratesХипократ ofса ChiosХиоса]] wasје theбио firstпрви toда showпокаже thatда theје areaповршина of a diskдиска (theрегиона regionобухваћеног enclosed by a circleкругом) isпропорционална proportionalквадрату toњеговог the square of its diameterпречника, asкао part ofдео hisњегове [[QuadratureКвадратура (mathematicsматематика)|quadratureквадратуре]] of the [[luneХипокритов ofвесец |Хипокритовог Hippocratesмесеца]],<ref name="heath">{{citation|first=Thomas L.|last=Heath|authorlink=Thomas Little Heath|title=A Manual of Greek Mathematics|publisher=Courier Dover Publications |year=2003|isbn=0-486-43231-9 |pages=121–132|url=https://books.google.com/books?id=_HZNr_mGFzQC&pg=PA121}}</ref> butали didније not identify theидентификовао [[constantПропорционалност of(математика)|константу proportionalityпропорционалности]]. [[Eudoxus of CnidusЕудокс]], alsoје inисто theтако 5thу century5. BCE,веку alsoп. foundн. thatе, the area ofутврдио aда diskје isповршина proportionalдиска toпропорционална itsквадрату radiusњеговог squaredпречника.<ref>{{cite book|url=http://www.stewartcalculus.com/media/8_home.php|title=Single variable calculus early transcendentals.|last=Stewart|first=James|publisher=Brook/Cole|year=2003|isbn=0-534-39330-6|edition=5th.|location=Toronto ON|page=3|quote=However, by indirect reasoning, Eudoxus (fifth century B.C.) used exhaustion to prove the familiar formula for the area of a circle: <math>A= \pi r^2.</math>}}</ref>
Књига -{I}- [[Еуклидови Елементи |Еуклидових ''Елемената'']] се бави једнакошћу области између дводимензионалних фигура. Математичар [[Архимед]] је користио оруђа [[Еуклидова геометрија |Еуклидове геометрије]] да покаже да је област унутар круга једнака површини [[Правоугаони троугао |правоугаоног троугла]] чија база има дужину обима круга и чија висина је једнака полупречнику круга, у својој књизи ''[[Мерење круга]]''. (Обим је -{2{{pi}}''r''}-, и површина троугла је половина базе пута висина, из чега следи да је површина диска {{pi}}-{''r''}-<sup>2</sup>.) Архимед је апроксимирао вреднсот параметра π (и стога је површина круга јединичног полупречника) путем [[Површина круга|његовог метода удвостручавања]], у коме је уписивао регуларни троугао у круг и бележио његову површину, затим би удвостручавао број страна да би добио регуларни [[Шестоугао |хексагон]], након тога би понављао удвостручавање броја страна чиме је површина полигона постајала све ближа површини круга (и исто је радио са [[Тангентални полигон |описаним полигонима]]).
Subsequently, Book I of [[Euclid's Elements|Euclid's ''Elements'']] dealt with equality of areas between two-dimensional figures. The mathematician [[Archimedes]] used the tools of [[Euclidean geometry]] to show that the area inside a circle is equal to that of a [[right triangle]] whose base has the length of the circle's circumference and whose height equals the circle's radius, in his book ''[[Measurement of a Circle]]''. (The circumference is 2{{pi}}''r'', and the area of a triangle is half the base times the height, yielding the area {{pi}}''r''<sup>2</sup> for the disk.) Archimedes approximated the value of π (and hence the area of a unit-radius circle) with [[Area of a disk#Archimedes' doubling method|his doubling method]], in which he inscribed a regular triangle in a circle and noted its area, then doubled the number of sides to give a regular [[hexagon]], then repeatedly doubled the number of sides as the polygon's area got closer and closer to that of the circle (and did the same with [[circumscribed polygon]]s).
SwissШвајцарски scientistнаучник [[JohannЈохан HeinrichХајнрих LambertЛамберт]] inје 1761. године доказао provedда thatје [[piпи|π]], theоднос ratioповршине ofкруга aи circle'sквадрата areaњеговог toполупречника, itsи squaredда radius,је isједнака [[irrationalирационални број number|irrationalирационалном]] броју, meaningшто itзначи isда notније equalједнака toколичнику theбило quotientкоја of any twoдва wholeцела numbersброја.<ref name=Arndt>{{cite book| last=Arndt |first=Jörg |last2=Haene l|first2=Christoph |title=Pi Unleashed| publisher=Springer-Verlag|year=2006| isbn=978-3-540-66572-4 <!--isbn only volume 1--> |url= https://books.google.com/?id=QwwcmweJCDQC&printsec=frontcover#v=onepage&q&f=false |ref=harv |accessdate=2013-06-05}} English translation by Catriona and David Lischka.</ref> InГодине 1794. Frenchје mathematicianфранцуским математичар [[AdrienАдријен-MarieМари LegendreЛежандр]] provedдоказао да thatје π<sup>2</sup> isиранционална irrationalвредност; thisтиме alsoје provesтакође thatдоказано πда isје π irrationalирационално.<ref>{{citation|first=Howard|last=Eves|title=An Introduction to the History of Mathematics|edition=6th|year=1990|publisher=Saunders|isbn=0-03-029558-0|page=121}}</ref> InГодине 1882, Germanнемачки mathematicianматематичар [[FerdinandФердинанд vonфон LindemannЛиндеман]] provedдоказао thatда је π is [[transcendentalтрансцендентан број number|transcendentalтрансцендентнa]] вредност (notда theније solutionрешење ofбило anyкоје [[polynomialалгебарска equationједначина |полиномне једначине]] withса rationalрационалним coefficientsкоефицијентима), confirmingчиме aје conjectureпотврдио made by bothпретпоставку [[AdrienАдријен-MarieМари LegendreЛежандр|LegendreЛежандра]] andи EulerОјлера.<ref name=Arndt/>{{rp|p. 196}}
=== Површина троугла ===
[[Херон |Херон (или Херо) од Александрије]] утврдио је такозвану [[Херонова формула |Херонову формулу]] за површину троугла изражену односом његових страна, и доказ се може наћи у његовој књизи, ''Метрика'', коју је написао око 60. године. По неким изворима [[Архимед]] је знао ту формулу пар векова раније,<ref>{{cite book
[[Hero of Alexandria|Heron (or Hero) of Alexandria]] found what is known as [[Heron's formula]] for the area of a triangle in terms of its sides, and a proof can be found in his book, ''Metrica'', written around 60 CE. It has been suggested that [[Archimedes]] knew the formula over two centuries earlier,<ref>{{cite book
| author=Heath, Thomas L.
| title=A History of Greek Mathematics (Vol II)
| publisher=Oxford University Press
| year=1921
| pages=321–323}}</ref> andи sinceпошто је ''MetricaМетрика'' isколекција aматематичког collectionзнања ofдоступног theу mathematicalантичком knowledge available in the ancient worldсвету, it is possibleмогуће thatје theда formulaта predatesформула theпредатира referenceреференце givenдате inу thatтом workраду.<ref>{{MathWorld |urlname=HeronsFormula |title=Heron's Formula}}</ref>
Године 499. [[Aryabhata |Аријабхата]], велики [[математичар]]-[[астроном]] из класичног доба [[Индијска математика |индијске математике]] и [[Индијска астрономија |индијске астрономије]], изразио је површину троугла као једну половину базе помножену висином у свом раду -{''[[Aryabhatiya]]''}- (секција 2.6).
In 499 [[Aryabhata]], a great [[mathematician]]-[[astronomer]] from the classical age of [[Indian mathematics]] and [[Indian astronomy]], expressed the area of a triangle as one-half the base times the height in the ''[[Aryabhatiya]]'' (section 2.6).
Кинези су независно од Грка открили Формулу еквивалентну Хероновој. То је било објављено 1247. године у раду ''Шушу Ђиузханг'' („[[Математичка расправа у девет секција]]”), аутора [[Ћин Ђушао]].
A formula equivalent to Heron's was discovered by the Chinese independently of the Greeks. It was published in 1247 in ''Shushu Jiuzhang'' ("[[Mathematical Treatise in Nine Sections]]"), written by [[Qin Jiushao]].
=== Квадрилатерална површина ===
У 7. веку, [[Брамагупта]] је развио формулу, која је у данашње време позната као [[Формула Брамагупте]], за површину [[Тетивни четвороугао |тетивног четвороугла]] ([[Четвороугао |четвороугла]] [[уписана фигура |уписаног]] у круг) у смислу његових страна. Године 1842. немачки математичари [[Carl Anton Bretschneider |Карл Антон Бретшнајдер]] и [[Karl Georg Christian von Staudt |Карл Георг Христијан Штаудт]] независно су извели формулу, познату као [[Бретшнајдерова формула]], за површину било ког четвороугаоника.
In the 7th century CE, [[Brahmagupta]] developed a formula, now known as [[Brahmagupta's formula]], for the area of a [[cyclic quadrilateral]] (a [[quadrilateral]] [[inscribed figure|inscribed]] in a circle) in terms of its sides. In 1842 the German mathematicians [[Carl Anton Bretschneider]] and [[Karl Georg Christian von Staudt]] independently found a formula, known as [[Bretschneider's formula]], for the area of any quadrilateral.
=== Општа површина полигона ===
[[Рене Декарт]]ов развој [[Декартов координатни систем|Картезијански координата]] у 17. веку омогућио је [[Карл Фридрих Гаус |Гаусу]] да развије [[Формула пертле |геодетске формуле]] за површину било ког полигона са познатим локацијама [[теме (геометрија) |теменом]] у 19. веку.
The development of [[Cartesian coordinate system|Cartesian coordinates]] by [[René Descartes]] in the 17th century allowed the development of the [[Shoelace formula|surveyor's formula]] for the area of any polygon with known [[vertex (geometry)|vertex]] locations by [[Gauss]] in the 19th century.
=== Површине утврђене коришћењем рачуна ===
Развој [[Интеграл |интегралног рачуна]] у касном 17. веку пружио је оруђа која се могу користити за израчунавање компликованијих површина, као што је површина [[елипса |елипсе]] и површинске области разних закривљених тродимензионих објеката.
The development of [[integral calculus]] in the late 17th century provided tools that could subsequently be used for computing more complicated areas, such as the area of an [[ellipse#Area|ellipse]] and the [[surface area]]s of various curved three-dimensional objects.
== Формуле за површину ==
=== Формуле полигона ===
{{Main article|PolygonМногоугао#AreaПовршина andи centroidцентроид}}
For aЗа non-self-intersecting ([[simple polygon|simple]]) polygon, the [[Cartesian coordinate system|Cartesian coordinates]] <math>(x_i, y_i)</math> (''i''=0, 1, ..., ''n''-1) of whose ''n'' [[vertex (geometry)|vertices]] are known, the area is given by the [[shoelace formula|surveyor's formula]]:<ref>{{cite web
|url = http://www.seas.upenn.edu/~sys502/extra_materials/Polygon%20Area%20and%20Centroid.pdf
|title = Calculating The Area And Centroid Of A Polygon
| 