Површина — разлика између измена

Постоји неколико добро познатих формула за површине мањих облика као што су [[Троугао|троуглови]], [[Правоугаоник|правоугаоници]] и [[Кружница|кругови]]. Користећи ове формуле, површина сваког [[многоугао|полигона]] може се наћи дељењем полигона у троуглове.<ref name="bkos">{{Cite book |author1 = Mark de Berg|author2 = Marc van Kreveld|last3=Overmars|first3=Mark|author3-link = Mark Overmars|last4=Schwarzkopf|first4=Otfried|year=2000|title = Computational Geometry|publisher = [[Springer-Verlag]]|edition = 2nd revised|idisbn=ISBN 978-3-540-65620-3|chapter = Chapter 3: Polygon Triangulation|pages=45–61}}</ref> За облике са закривљеним границама, [[математичка анализа|калкулус]] се често користи да се израчуна површина. Доиста, проблем одређивања површине равних фигура био је већа мотивација за историјски развој калкулуса (математичка анализа).<ref>{{citeCite book|first = Carl B.|last = Boyer|authorlink = Carl Benjamin Boyer|title = A History of the Calculus and Its Conceptual Development|publisher = Dover|year=1959|idisbn=ISBN 978-0-486-60509-8}}</ref>

Површина игра важну улогу у модерној математици. У додатку са очигледном важношћу у [[Геометрија|геометрији]] и калкулусу, површина је везана за дефиницију детерминанти у [[Линеарна алгебра|линеарној алгебри]], те је основна особина површи у диференцијалној геометрији.<ref name="doCarmo">[[Manfredo do Carmo|do Carmo, Manfredo]].</ref> У [[Анализа|анализи]], површина подскупа равни је дефинисана кориштењем мере Лебега,<ref name="Rudin">{{cite book|authorlast=Walter Rudin|first=Walter|title=Real and Complex Analysis|publisher=McGraw-Hill|year=1966|idisbn=ISBN 978-0-07-100276-9|pages=}}</ref> ипак није сваки подскуп мерљив.<ref>{{cite book|authorlast=Gerald Folland|first=Gerald|title=Real Analysis: modern techniques and their applications|publisher=John Wiley & Sons, Inc.|year=1999|idisbn=ISBN 978-0-471-31716-6|pages=20}}</ref> Генерално, површина у вишој математици види се као специјалан случај [[Запремина|запремине]] за дводимензионалне регије.<ref name="MathWorld" />

У 5. веку п. н. е, [[Хипократ са Хиоса]] је био први да покаже да је површина диска (региона обухваћеног кругом) пропорционална квадрату његовог пречника, као део његове [[Квадратура (математика)|квадратуре]] [[Хипокритов весец|Хипокритовог месеца]],<ref name="heath">{{citation|first=Thomas L.|last=Heath|authorlink=Thomas Little Heath|title=A Manual of Greek Mathematics|publisher=Courier Dover Publications |year=2003|idisbn=ISBN 978-0-486-43231-1 |url=https://books.google.com/books?id=_HZNr_mGFzQC&pg=PA121|pages=121–132}}</ref> али није идентификовао [[Пропорционалност (математика)|константу пропорционалности]]. [[Еудокс]] је исто тако у 5. веку п. н. е, утврдио да је површина диска пропорционална квадрату његовог пречника.<ref>{{cite book|url=http://www.stewartcalculus.com/media/8_home.php|title=Single variable calculus early transcendentals.|last=Stewart|first=James|publisher=Brook/Cole|year=2003|idisbn=ISBN 978-0-534-39330-4|edition=5th.|location=Toronto ON|quote=However, by indirect reasoning, Eudoxus (fifth century B.C.) used exhaustion to prove the familiar formula for the area of a circle: <math>A= \pi r^2.</math>|pages=3}}</ref>

Швајцарски научник [[Јохан Хајнрих Ламберт]] је 1761. године доказао да је [[пи|π]], однос површине круга и квадрата његовог полупречника, и да је једнака [[ирационалан број|ирационалном]] броју, што значи да није једнака количнику било која два цела броја.<ref name=Arndt>{{cite book|last=Arndt|first=Jörg |last2=Haene l|first2=Christoph |title=Pi Unleashed| publisher=Springer-Verlag|year=2006|isbn=978-3-540-66572-4 |url= https://books.google.com/?id=QwwcmweJCDQC&printsec=frontcover#v=onepage&q&f=false |ref=harv |accessdate=2013-06-05}} English translation by Catriona and David Lischka.</ref> Године 1794. је француским математичар [[Адријен-Мари Лежандр]] доказао да је π² иранционална вредност; тиме је такође доказано да је π ирационално.<ref>{{citation|last=Eves|first=Howard|title=An Introduction to the History of Mathematics|edition=6th|year=1990|publisher=Saunders|idisbn=ISBN 978-0-03-029558-4|pages=121}}</ref> Године 1882, немачки математичар [[Фердинанд фон Линдеман]] доказао да је π [[трансцендентан број|трансцендентна]] вредност (да није решење било које [[алгебарска једначина|полиномне једначине]] са рационалним коефицијентима), чиме је потврдио претпоставку [[Адријен-Мари Лежандр|Лежандра]] и Ојлера.<ref name=Arndt/>{{rp|p. 196}}