|
=== Метрички простори ===
{{Main|Метрички простор}}
У [[Математика|математици]], '''метрички простор''' је [[скуп]] где је појам [[растојање|растојања]] (звани [[Метрика (математика)|метрика]]) између елемената скупа дефинисан.
Највећи део анализе се одвија у неком метричком простору; најшире коришћени су [[real line|реална линија]], [[комплексна раван]], [[Еуклидов простор]], други [[векторски простор]]и, и [[Цео број|цели бројеви]]. Примери анализе без метрика обухватају [[Мера (математика)|теорију мера]] (која описује величину, а не растојање) и [[functional analysis|функционалну анализу]] (која изучава [[topological vector space|тополошке векторске просторе]] који не морају да имају никакав осећај за даљину).
Much of analysis happens in some metric space; the most commonly used are the [[real line]], the [[complex plane]], [[Euclidean space]], other [[vector space]]s, and the [[integer]]s. Examples of analysis without a metric include [[measure theory]] (which describes size rather than distance) and [[functional analysis]] (which studies [[topological vector space]]s that need not have any sense of distance).
FormallyФормално, aметрички metricпростор space is anје [[orderedуређени pairпар]] <math>(M,d)</math>, где whereје <math>M</math> is a setскуп, andа <math>d</math> is aје [[metricМетрика (mathematicsматематика)|metricметрика]] onна <math>M</math>, i.e., a [[FunctionФункција (mathematicsматематика)|functionфункција]]
:<math>d \colon M \times M \rightarrow \mathbb{R}</math>
suchтаква thatда forза anyсвако <math>x, y, z \in M</math>, the followingважи holdsследеће:
# <math>d(x,y) = 0</math> [[ifако andи onlyсамо ifако]] <math>x = y</math> (''[[identity of indiscernibles]]''),
# <math>d(x,y) = d(y,x)</math> (''symmetryсиметрија'') andи
# <math>d(x,z) \le d(x,y) + d(y,z)</math> (''[[triangleнеједнакост inequalityтроугла]]'') .
ByПолазећи takingод theтрећег thirdсвојства propertyи andузимајући lettingда је <math>z=x</math>, itможе canсе beпоказати shownда thatје <math>d(x,y) \ge 0</math> (''nonне-negativeнегативно'').
=== Низови и лимити ===
{{Main|Низ}}
'''Низ''' је уређена листa. Попут [[скуп]]а, он садржи [[Element (mathematics)|чланове]] (који се називају и ''елементи''). За разлику од скупа, друге ствари, и исти елементи могу да се појаве више пута на различитим позицијама у низу. Низ се најпрецизније може дефинисати као [[Функција (математика)|функција]] чији домен је [[Пребројив скуп|пребројив]] [[Total order|тотално уређен]] скуп, као што су [[Природан број|природни бројеви]].
'''Низ''' је ordered list. Like a [[Set (mathematics)|set]], it contains [[Element (mathematics)|members]] (also called ''elements'', or ''terms''). Unlike a set, order matters, and exactly the same elements can appear multiple times at different positions in the sequence. Most precisely, a sequence can be defined as a [[function (mathematics)|function]] whose domain is a [[countable]] [[totally ordered]] set, such as the [[natural numbers]].
Један од најважнијих својстава низа је ''конвергенција''. Неформално, низ конвергира ако има ''лимит''. Настављајући информално, (појединачно-бесконачно) низ има лимит ако се приближава некој тачци ''x'', званој лимит, кад -{''n''}- постане веома велико. Другим речима, за један апстрактни низ (-{''a''<sub>''n''</sub>}-) (са -{''n''}- у подразумеваном опсегу од 1 до бесконачности) растојање између -{''a''<sub>''n''</sub>}- и ''x'' се приближава 0 кад -{''n''}- → ∞, што се означава са
One of the most important properties of a sequence is ''convergence''. Informally, a sequence converges if it has a ''limit''. Continuing informally, a ([[#Finite and infinite|singly-infinite]]) sequence has a limit if it approaches some point ''x'', called the limit, as ''n'' becomes very large. That is, for an abstract sequence (''a''<sub>''n''</sub>) (with ''n'' running from 1 to infinity understood) the distance between ''a''<sub>''n''</sub> and ''x'' approaches 0 as ''n'' → ∞, denoted
:<math>\lim_{n\to\infty} a_n = x.</math>
=== Реална анализа ===
{{Main|Реална анализа}}
'''Реална анализа''' (traditionallyтрадиционално, the '''theoryтеорија of functions of aфункција realреалних variableвредности''') isје aграна branchматематичке ofанализе mathematicalкоја analysisсе dealing with theбави [[realреални numberброј|реалним бројевима]]s andи realреално-valued functions ofвредносним aфункцијама realреалних variableпроменњивих.<ref>{{cite book |last=Rudin |first=Walter |authorlink=Walter Rudin |title=Principles of Mathematical Analysis |series=Walter Rudin Student Series in Advanced Mathematics |edition=3rd |publisher=McGraw–Hill |isbn=978-0-07-054235-8}}</ref><ref>{{cite book |last=Abbott |first=Stephen |title=Understanding Analysis |series=Undergraduate Texts in Mathematics |isbn=0-387-95060-5 |year=2001 |location=New York |publisher=Springer-Verlag}}</ref> In particularСпецифично, itона dealsсе withбави theаналитичким analyticсвојствима properties of realреалних [[functionфункција (mathematicsматематика)|functionsфункција]] andи [[sequenceниз]]sова, includingукључујући [[LimitГранична of aвредност sequenceниза|convergenceконвергенцију]] andи [[limitГранична ofвредност a functionфункције|limitлимите]]s of [[sequenceниз]]sова ofреалних real numbersбројева, the [[calculusкалкулус]] ofреалних the real numbersбројева, andи [[continuousНепрекидна functionфункција|continuityнепрекидност]], [[smooth function|smoothnessглаткост]] andи relatedсродна propertiesсвојства ofфункција real-valuedреалних functionsвредности.
=== Комплексна анализа ===
{{Main|Комплексна анализа}}
'''ComplexКомплексна analysisанализа''', traditionallyтрадиционално knownпозната as theкао '''theoryтеорија ofфункција functionsкомплексних of a complex variableпроменљивих''', isје theграна branchматематичке ofанализе mathematicalкоја analysis that investigatesистражује [[FunctionФункција (mathematicsматематика)|functionsфункције]] of [[complexкомплексни број|комплексних numbersбројева]].<ref>{{cite book |last=Ahlfors |first=L. |authorlink=Lars Ahlfors |title=Complex Analysis |location=New York |publisher=McGraw-Hill |edition=3rd |year=1979 |isbn=0-07-000657-1 |pages= |url=https://books.google.com/books?id=2MRuus-5GGoC }}</ref> It is useful in many branches of mathematics, including [[algebraic geometry]], [[number theory]], [[applied mathematics]]; as well as in [[physics]], including [[hydrodynamics]], [[thermodynamics]], [[mechanical engineering]], [[electrical engineering]], and particularly, [[quantum field theory]].
Complex analysis is particularly concerned with the [[analytic function]]s of complex variables (or, more generally, [[meromorphic function]]s). Because the separate [[real number|real]] and [[imaginary number|imaginary]] parts of any analytic function must satisfy [[Laplace's equation]], complex analysis is widely applicable to two-dimensional problems in [[physics]].
| 