Формула Брамагупте — разлика између измена
Садржај обрисан Садржај додат
Ред 27:
:<math>4P^2 = (ad + bc)^2 - cos^2 \alpha (ad + bc)^2. \,</math>
Ако применимо косинусну теорему на <math>\triangle ADB</math> и <math>\triangle BDC</math> и помоћу ње изразимо дијагоналу <math>DB,</math>, добијамо
:<math>a^2 + d^2 - 2ad\cos \alpha = b^2 + c^2 - 2bc\cos \gamma. \,</math>
Пошто су углови <math>\alpha</math> и <math>\gamma</math> суплементни, важи <math>\cos \gamma = -\cos \alpha</math> па добијамо
:<math>2\cos \alpha (ad + bc) = a^2 + d^2 - b^2 - c^2. \,</math>
Када добијену једнакост уврстимо у израз за површину, биће
:<math>4P^2 = (ad + bc)^2 - \frac{1}{4}(a^2 + d^2 - b^2 - c^2)^2</math>
:<math>16P^2 = 4(ad + bc)^2 - (a^2 + d^2 - b^2 - c^2)^2, \,</math>
Раставимо ли израз коришћењем формуле за разлику квадрата:
:<math>16P^2 = (2(ad + bc) + a^2 + d^2 - b^2 - c^2)(2(ad + bc) - a^2 - d^2 + b^2 +c^2) \,</math>
:<math>= ( (a+d)^2 - (b-c)^2 )( (b+c)^2 - (a-d)^2 ) \,</math>
:<math>= (a+d+b-c)(a+d+c-b)(a+b+c-d)(d+b+c-a). \,</math>
Ако означимо полуобим са <math> s = \frac{a+b+c+d}{2},</math> и уврстимо га у претходном кораку:
:<math>16P^2 = 16(s-a)(s-d)(s-b)(s-c). \,</math>
Коначна формула се добија кореновањем последње једнакости:
:<math>P = \sqrt{(s-a)(s-d)(s-b)(s-c)}.</math>
== Уопштење формуле ==
| |||