Теорија информације — разлика између измена

м
: тада је <math>f(x)=C \cdot log_bx</math>, где су ''C'' > 0, ''b'' > 1 произвољни реални бројеви.
 
'''Доказ'''. За свако ''x'' > 1 и за свако ''r'' > 0 постоји број ''k'' = 0, 1, 2, ... такав да је <math>x^k \le 2^r < x^{k+1}</math>. На основу овога и особине (ii) је <math>f(x^k) \le f(2^r) < f(x^{k+1})</math>, одакле се због (iii) добија <math>k \cdot f(x) \le r \cdot f(2) < (k+1) \cdot f(x) </math>. Како према (i) је ''f''(''x'')> 0, делењем ових неједнакости са <math>r \cdot f(x)</math> имамо <math>\frac{k}{r} \le \frac{f(2)}{f(x)} < \frac{k}{r}+ \frac{1}{r}</math>.
 
: <math>x^k \le 2^r < x^{k+1}</math>.
Функција <math>f(x)=log_b x</math>, ''b'' > 1 има особине (i)-(iii) па горње неједнакости важе и за њу, тј. <math>\frac{k}{r} \le \frac{log_2b}{log_bx}<\frac{k}{r}+\frac{1}{r}</math>. На основу тога је <math>\left| \frac{log_b2}{log_bx} - \frac{f(x)}{f(2)} \right|<\frac{1}{r}</math>, за свако ''r'' > 0 па и за произвољно велико ''r'', због чега је израз у апослутној загради последње неједнакости нула, тј. <math>f(x)=\frac{f(2)}{log_b2} \cdot log_bx</math>, одноано <math>f(x)=C \cdot log_bx</math>. '''Крај доказа'''.
 
На основу овога и особине (ii) је
 
: <math>f(x^k) \le f(2^r) < f(x^{k+1})</math>, одакле се због (iii) добија
 
: <math>k \cdot f(x) \le r \cdot f(2) < (k+1) \cdot f(x) </math>. Како према (i) је ''f''(''x'')> 0, делењем ових неједнакости са
 
: <math>r \cdot f(x)</math> имамо
 
: <math>\frac{k}{r} \le \frac{f(2)}{f(x)} < \frac{k}{r}+ \frac{1}{r}</math>.
 
Функција <math>f(x)=log_b x</math>, ''b'' > 1 има особине (i)-(iii) па горње неједнакости важе и за њу, тј.
 
: <math>\frac{k}{r} \le \frac{log_2b}{log_bx}<\frac{k}{r}+\frac{1}{r}</math>. На основу тога је
 
Функција <math>f(x)=log_b x</math>, ''b'' > 1 има особине (i)-(iii) па горње неједнакости важе и за њу, тј. <math>\frac{k}{r} \le \frac{log_2b}{log_bx}<\frac{k}{r}+\frac{1}{r}</math>. На основу тога је: <math>\left| \frac{log_b2}{log_bx} - \frac{f(x)}{f(2)} \right|<\frac{1}{r}</math>, за свако ''r'' > 0 па и за произвољно велико ''r'', због чега је израз у апослутној загради последње неједнакости нула, тј. <math>f(x)=\frac{f(2)}{log_b2} \cdot log_bx</math>, одноано <math>f(x)=C \cdot log_bx</math>. '''Крај доказа'''.
 
: <math>f(x)=\frac{f(2)}{log_b2} \cdot log_bx</math>, односно
 
: <math>f(x)=C \cdot log_bx</math>. '''Крај доказа'''.
 
== Спољашњи линкови ==
1.479

измена