Троугао — разлика између измена
Садржај обрисан Садржај додат
Исправљена грешка при куцању ознаке: мобилна измена мобилно уређивање преко апликације |
м Разне исправке; козметичке измене |
||
Ред 1:
{{bez_inlajn_referenci}}
[[
'''Троугао''' је многоугао са три странице. Три тачке где се странице (дужи) равни пресецају зову се темена. Троуглови се у математици понекад идентификују набрајањем њихових темена. На пример, троугао ''ABC.'' [[Тригонометрија]] је област геометрије и математике која се бави троугловима.
Ред 6:
# ''Праволинијски'' троугао ([[једнодимензионалан]]) чине три [[Тачка (геометрија)|тачке]] које не леже на једној [[права (линија)|правој]] и три дужи са крајевима у тим тачкама.
# Троугао је [[многоугао]] са најмањим бројем страница.
У [[Еуклидова геометрија|Еуклидској геометрији]] било које три неколинеарне тачке једнозначно одређују троугао.
Линија 43 ⟶ 44:
</table>
Троугао са теменима -{A, B, C}- симболички се означава <math>\Delta ABC,</math> или са <math>\Delta BCA,</math> итд, шест ознака једног троугла. Странице и углови троугла називају се основним елементима троугла. [[Једнодимензиони троугао]] понекад се назива ''контурни'' или ''скелетни''. Троугао дели [[раван]] на две области од којих је једна [[испупчен]]а ([[конвексна]]) а друга неиспупчена ([[удубљен]]а, или [[конкаван|конкавна]]). Тачке испупчене области називају се унутрашњим тачкама троугла, тачке неиспупчене области спољашњим. Често се под троуглом (дводимензионалним) подразумева троугао (једнодимензионални) заједно са унутрашњим тачкама. Понекад се дводимензионални троугао назива компактним, непрекидним, или плочастим. Једнодимензионални (контурни) и дводимензионални (компактни) троуглови имају [[тежиште]], први у пресеку [[бисектриса]], други у пресеку [[медијана]]. Када је троугао једнакостраничан, тада се тежишта једнодимензионалног и дводимензионалног троугла поклапају. Обично је из контекста јасно о којем троуглу је реч, на пример, када се говори о површини троугла тада се подразумева дводимензионални троугао,
[[Збир углова у троуглу]] једнак је испруженом углу (180 степени, тј. [[пи]] радијана), у геометрији Еуклида, мањи је од тога и променљив у [[хиперболичка геометрија|геометрији Лобачевског]], односно већи је до испруженог, али је мањи од три испружена угла (540°, тј. 3''π'') у [[Геометрија Римана|геометрији Римана]].
Линија 58 ⟶ 59:
== Пашова аксиома ==
[[Хилбертове аксиоме]] елементарне геометрије садрже аксиоме распореда (2. група аксиома), међу којима је најважнија
[[Датотека:Pasova-aksioma.gif|мини|Пашова аксиома]]
; Пашова аксиома: Ако су -{A, B}- и -{C}- три неколинеарне тачке, -{D}- тачка између A и -{B}- и у равни -{ABC}- права -{p}-, која садржи тачку -{D}- и не садржи ни једну од тачака -{A, B, C}-, тада на правој -{p}- постоји тачка E, таква да је -{B-E-C}- или -{A-E-C}-, тј. Е је између -{B}- и -{C}- или је између A и -{C}-.
Линија 65 ⟶ 66:
; Теорема 1: Ако су А и -{B}- две различите тачке, тада постоји [[Тачка (геометрија)|тачка]] -{С}- између А и -{B}-.
[[Датотека:Tacka-izmedju.gif|мини|Тачка -{С}- између две дате тачке]]
; Доказ: Позивамо се на Хилбертову аксиому везе (припадања): свака [[права (линија)|права]] садржи најмање две различите тачке; постоје три [[колинеарност|неколинеарне тачке]]. Затим се позивамо на Хилбертову аксиому распореда: ако су -{B}- и -{D}- две разне тачке тада постоји тачка Е, таква да је -{B-D-E}-. На Пашову аксиому и користимо слику десно.
Линија 86 ⟶ 88:
[[Датотека:Podudarnost-SSU.gif|мини|лево|Став ССУ]]
Последњи став се може изрећи и овако: Два троугла су подударна ако и само ако су две странице и угао наспрам једне од њих у једном троуглу једнаки са две одговарајуће странице и углом другог, а оба троугла су исте врсте, тј. оба су оштра, правоугла, или тупоугла. Међутим, без додатка да је угао наспрам веће стране, или да су оба троугла исте врсте, имали бисмо ситуацију као на слици лево. Троуглови -{AB}-<sub>1</sub>
Често је лакше доказати подударност неких троуглова него многоуглова, па и страница на некој геометријској фигури. Зато је [[подударност троуглова]] веома важна у геометрији.
Линија 121 ⟶ 123:
: из -{a + b > c}- следи -{b > c - a}- и -{a > c - b}-, а из -{a + c > b}- следи -{c > b - a}-. Крај доказа.
За произвољне три тачке -{A, B, C}- увек важи <math>|\overline{AC}-\overline{CB}|\le \overline{AB}\le \overline{AC}+\overline{CB}.</math> Та
== Значајне тачке троугла ==
Линија 135 ⟶ 137:
[[Датотека:Krug-oko-trougla.gif|мини|Описани круг]]
; Теорема 7: (''О центру описаног круга'') Симетрале страница троугла секу се у једној тачки.
; Доказ: Симетрале -{s}-<sub>a</sub>, -{s}-<sub>
; Теорема 8: (''О ортоцентру'') Праве које садрже висине троугла имају једну заједничку тачку.
; Доказ: У теменима А, -{B}- и -{C}- троугла -{ABC}- конструишимо праве паралелне са супротним страницама -{BC, AC}- и -{AB}-, слика лево. Те праве се секу и одређују троугао A<sub>1</sub>
Последња од четири наведене значајне тачке троугла је ''тежиште''. Оно се налази на пресеку ''тежишница'', а тежишница је линија која спаја врх са средином супротне странице троугла. Дуж која спаја две средине страница назива се [[средња линија троугла]]. Познато је да је средња линија троугла паралелна трећој страници и једнака њеној половини.
| |||