Математичка анализа — разлика између измена

[[Датотека:Lorentz.PNG|thumbмини|uptight=1.2|[[Атрактор|Чудни атрактор]] који произилази из [[диференцијална једначина|диференцијалне једначине]]. Диференцијалне једначине су важна област математичке анализе са мноштвом примена у [[наука|науци]] и [[инжењерство|инжењерству]].]]

'''Математичка анализа''' ([[Старогрчки језик|старогрчки]] ''ανάλυσις'', ''análysis'', решење) је област [[математика|математике]] која између осталог проучава [[гранична вредност|граничне вредности]], интеграле, изводе и редове. Област се помиње и под именима [[виша математика]], [[инфинитезимални рачун]], а у енглеској литератури као „Калкулус“ ({{јез-енгл|Calculus}}). То је веома широка област математике и предмет је вишегодишњих студија на факултетима.<ref>[[Edwin Hewitt]] and Karl Stromberg, "Real and Abstract Analysis", Springer-Verlag, 1965</ref><ref>{{Cite web|title = analysis {{!}} mathematics|url = http://www.britannica.com/topic/analysis-mathematics|accessdate = 31. 077. 2015.|publisher = Encyclopædia Britannica|last = Stillwell|first = John Colin}}</ref>

[[Датотека:Archimedes pi.svg|thumbмини|right|300px|[[Архимед]] користи [[метод исцрпљивања]] да израчуна [[Површина|површину]] унутар круга путем налажења области [[Правилних многоугаоника|регуларних полигона]] са све више и више страница. То је био јенан рани мада неформални пример [[Гранична вредност|лимита]], једног од најосновнијих концепата у математичкој анализи.]]

Почетком 17. века, поново се појавио интерес за мерење запремина интегралном методом.<ref name=analysis>{{Cite bookharvnb|last=Jahnke|first=Hans Niels|title=A History of Analysis|url=https://books.google.com/books?id=CVRZEXFVsZkC&pg=PR7|year=2003|publisher=American Mathematical Society|isbn=978-0-8218-2623-2|pagespp=7}}</ref> [[Јохан Кеплер|Кеплер]] је користио процедуре налажења запремина тела узимајући их као композицију бесконачног скупа инфинитезимално (бесконачно) малих елемената (Stereometrija doliorum, Мерење запремина буради, 1615). Ове идеје је поопштио [[Кавалијери]] (''-{Cavalieri}-'') у свом делу ''-{Geometria indivisibilibus continuorum nova}-'' (1635), у којем је употребио идеју да се површина састоји из недељивих линија, а запремина од недељивих површина. То је данас познати [[Кавалијеријев принцип]], а такође то је био и концепт Архимедове методе. [[Џон Валис]] у свом делу Бесконачна аритметика (''John Wallis, Arithmetica ifinitorum'', 1655) је аритметизовао Кавалијерове идеје. У том раздобљу су инфинитезималне методе интензивно кориштене за тражење дужина кривих и површина.

'''Реална анализа''' (традиционално, '''теорија функција реалних вредности''') је грана математичке анализе која се бави [[реални број|реалним бројевима]] и реално-вредносним функцијама реалних променњивих.<ref>{{citeCite book|last=Rudin|first=Walter |authorlink=Walter Rudin |title=Principles of Mathematical Analysis |series=Walter Rudin Student Series in Advanced Mathematics |edition=3rd |publisher=McGraw–Hill |isbn=978-0-07-054235-8|pages=}}</ref><ref>{{cite book|last=Abbott|first=Stephen |title=Understanding Analysis |series=Undergraduate Texts in Mathematics |idisbn=ISBN 978-0-387-95060-0 |year=2001|location=New York |publisher=Springer-Verlag}}</ref> Специфично, она се бави аналитичким својствима реалних [[функција (математика)|функција]] и [[низ]]ова, укључујући [[Гранична вредност низа|конвергенцију]] и [[Гранична вредност функције|лимите]] [[низ]]ова реалних бројева, [[калкулус]] реалних бројева, и [[Непрекидна функција|непрекидност]], [[smooth function|глаткост]] и сродна својства функција реалних вредности.

'''Комплексна анализа''', традиционално позната као '''теорија функција комплексних променљивих''', је грана математичке анализе која истражује [[Функција (математика)|функције]] [[комплексни број|комплексних бројева]].<ref>{{cite book|last=Ahlfors|first=L. |authorlink=Lars Ahlfors |title=Complex Analysis |location=New York |publisher=McGraw-Hill |edition=3rd |year=1979|idisbn=ISBN 978-0-07-000657-7 |url=https://books.google.com/books?id=2MRuus-5GGoC }}</ref> То је корисно у многим гранама математике, укључујући [[Алгебарска геометрија|алгебарску геометрију]], [[теорија бројева|теорију бројева]], [[примењена математика|примењену математику]]; као и у [[физика|физици]], укључујући [[хидродинамика|хидродинамику]], [[термодинамика|термодинамику]], [[машинство]], [[Електротехника|електротехнику]], и посебно, [[Квантна теорија поља|квантну теорију поља]].

'''Функционална анализа''' је грана математичке анализе, у чијој основи је изучавање [[векторски простор|векториских простора]] обогаћено неком врстом структуре везане за лимите (e.g. [[Inner product space|унутрашљи производ]], [[Norm (mathematics)|норма]], [[Тополошки простор|топологија]], etc.) и [[Линеарно пресликавање|линеарним операторима]] који делују на тим просторима поштујући ове структуре у одговарајућем смислу.<ref>{{cite book|last=Rudin|first=W. |authorlink=Walter Rudin |title=Functional Analysis |location= |publisher=McGraw-Hill Science |year=1991|idisbn=ISBN 978-0-07-054236-5 |url=https://books.google.com/books?id=Sh_vAAAAMAAJ }}</ref><ref>{{cite book|last=Conway|first=J. B. |authorlink=John B. Conway |title=A Course in Functional Analysis |edition=2nd |publisher=Springer-Verlag |year=1994|idisbn=ISBN 978-0-387-97245-9 |url=https://books.google.com/books?id=ix4P1e6AkeIC }}</ref> Историјски корени функционалне анализе леже у студијама [[function space|функционих простора]] и формулисању својстава трансформација функција попут [[Fourier transform|Фуријеве трансформације]], као трансформација којима се дефинишу [[Непрекидна функција|континуирани]], [[unitary operator|унитарни]] и други оператори између функцијских простора. Испоставило се да је ова тачка гледишта посебно корисна при студирању [[диференцијалне једначине|диференцијалних]] и [[Интегрална једначина|интегралних једначина]].

'''Диференцијална једначина''' је [[математика|математичка]] [[једначина]] за једну непознату [[функција (математика)|функцију]] са једном или неколико [[Променљива (математика)|променљивих]] која повезује вредности саме функције и њених [[извод]]а разних [[Извод#Виши деривати|редова]].<ref>E. L. Ince, ''Ordinary Differential Equations'', Dover Publications, 1958, . {{page|year=|idisbn=ISBN 978-0-486-60349-0|pages=}}</ref><ref>[[Witold Hurewicz]], ''Lectures on Ordinary Differential Equations'', Dover Publications. {{page|year=|idisbn=ISBN 978-0-486-49510-1|pages=}}</ref><ref>{{Citation |authorlink=Lawrence C. Evans |first=L. C. |last=Evans|title=Partial Differential Equations |publisher=American Mathematical Society |location=Providence |year=1998|idisbn=ISBN 978-0-8218-0772-9 }}</ref> Диференцијалне једначине играју проминентну улогу у [[Инжењерство|инжењерству]], [[Физика|физици]], [[Економија|економији]], [[Биологија|биологији]], и другим дисциплинама.

'''Нумеричка анализа''' је студија [[алгоритам]]а који користе нумеричку [[Апроксимација|апроксимацију]] (за разлику од општих [[Симболичко рачунање|симболичких манипулација]]) за проблеме математичке анализе (што је различито од [[Дискретна математика|дискретне математике]]).<ref>{{cite book|last=Hildebrand|first=F. B. | authorlink=Francis B. Hildebrand | title=Introduction to Numerical Analysis | edition=2nd |year=1974|publisher=McGraw-Hill |location= |id=ISBN 0-07-028761-9}}</ref> Модерна нумеричка анализа не тражи прецизне одговоре, пошто је прецизне одговоре често немогуће добити у пракси. Уместо тога, највећи део нумеричке анализе се бави налажењем апроксимативних решења уз задржавање грешака у разумним границама. Нумеричка анализа природно налази примене у свим пољима инжењерства и физичких наука. У 21. веку су бројни елементи научних прорачуна нашли примену у већини природних наука, па чак и грана уметности. [[Ordinary differential equation|Обичне диференцијалне једначине]] се јављају у [[Небеска механика|небеској механици]] (изучавању планета, звезда и галаксија); [[нумеричка линеарна алгебра]] је важна за анализу података; [[стохастичка диференцијална једначина|стохастичке диференцијалне једначине]] и [[ланци Маркова]] су есенцијални у симулирању живих ћелија у медицинским и биолошким истраживањима.

* {{citeCite book |ref= harv|author=-{Apostol, Tom M. 1974|title=Mathematical Analysis|location=|publisher=2nd ed. Addison–Wesley.}|year=|isbn=978-0-201-00288-1|pages=}}

* -{Nikol'skii, S. M. [http://eom.springer.de/M/m062610.htm "Mathematical analysis"]. In [https://web.archive.org/web/20060409124718/http://eom.springer.de/default.htm ''Encyclopaedia of Mathematics''], [[Michiel Hazewinkel]] (editor). Springer-Verlag. {{page|year=2002|idisbn=ISBN 978-1-4020-0609-8|pages=}}}-

* {{citeCite book |ref= harv|author=-{Rombaldi, Jean-Étienne. 2004|title=Éléments d'analyse réelle : CAPES et agrégation interne de mathématiques|location=|publisher=EDP Sciences|year=|idisbn=ISBN 978-2-86883-681-6|pages=}}}-

* {{Cite book|ref= harv|url=https://ia801508.us.archive.org/20/items/1979RudinW/RudinW.PrinciplesOfMathematicalAnalysis3e1976600Dpi.pdf|title=Principles of Mathematical Analysis|last=Rudin|first=Walter|publisher=McGraw-Hill|year=1976|idisbn=ISBN 978-0-07-054235-8|edition=3rd|location=New York|pages=|quote=|via=}}

* {{Cite book|ref= harv|url=https://ia801903.us.archive.org/26/items/RudinW.RealAndComplexAnalysis3e1987/Rudin,%20W.%20Real%20and%20Complex%20Analysis,%203e,%201987.pdf|title=Real and Complex Analysis|last=Rudin|first=Walter|publisher=McGraw-Hill|year=1987|idisbn=ISBN 978-0-07-054234-1|edition=3rd|location=New York|pages=|quote=|via=}}

* {{citeCite book |ref= harv|author=-{Smith, David E. 1958|title=History of Mathematics|location=|publisher=Dover Publications.}|year=|idisbn=ISBN 978-0-486-20430-7|pages=}}

* {{citeCite book |ref= harv|author=-{[[E. T. Whittaker|Whittaker, E. T.]] and [[G. N. Watson|Watson, G. N.]]. 1927|title=[[Whittaker and Watson|A Course of Modern Analysis]]|location=|publisher=4th edition. Cambridge University Press.}|year=|idisbn=ISBN 978-0-521-58807-2|pages=}}