Кеплерови закони — разлика између измена

'''Кеплерови закони''' описују кретање [[планета]] око [[Сунце|Сунца]]. Формулисана су три [[Јохан Кеплер| Кеплерова]] закона:.

{{Main |Први Кеплеров закон}}

Планете се крећу по елиптичким путањама у којем се у једном од фокуса налази центар масе, сунце.

НапишимоНапише се [[Лагранжева функција|ЛагранжевуЛагранжева]] функцијуфункција за нашег система[[Сунчев Сунце -систем]] нека(неку планетапланету):<math>L=T-V=\frac{1}{2}mv^2-\Bigl(-\frac{\gamma Mm}{r}\Bigr)=\frac{1}{2}m\Bigl({dr \over dt}\Bigr)^2 +\frac{1}{2}mr^2\Bigl({d\phi \over dt}\Bigr)^2+\frac{\gamma Mm}{r}</math>,

где је m -— маса планете, М -— маса Сунца, γ -— univerzalna gravitaciona konstanta, <math>\gamma=6.\,67\cdot 10^{-11}\frac{[N][m]^2}{[kg]^2}</math>, r -— растојање између Сунца и планете, <math>{dr \over dt}</math>-радијална брзина и <math>r{d\phi \over dt}</math>- — азимутална брзина

Сада можемосе може уочити једнуједна константуконстанта кретања користећи ЛагранжеовеЛагранжове једначине:

Kako je <math>\frac{\partial L}{\partial\phi}=0</math> то је <math>\frac{\partial L}{\partial \dot\phi}=const</math>, односно <math>mr^2\dot\phi=p_\phi</math> је константа кретања или [[момент импулса]] планете у односу на Сунце. Сада напишимо [[Хамилтонова функција|Хамилтонову функцију]] система, која у случају [[Konzervativna sila|конзервативних сила]] представља и укупну енергију система:<math>H=T+V=\frac{1}{2}mv^2-\frac{\gamma Mm}{r}=E</math> или <math>\frac{1}{2}m\dot r ^2+\frac{1}{2}\frac{p_\phi^2}{mr^2}-\frac{\gamma Mm}{r}=E</math>; одавде је :

<math>\dot r={dr \over dt}=\sqrt{\frac{2E}{m}-\frac{\dot {p_\phi}^2}{m^2r^2}+2\frac{\gamma M}{r}}</math>. ЕлиминишемоЕлиминише променљивусе променљива t сменом:: <math>\dot r = \frac{d\phi}{d\phi}\frac{dr}{dt}=\frac{d\phi}{dt}\frac{dr}{d\phi}=\frac{p_\phi}{mr^2}\frac{dr}{d\phi}=\sqrt{\frac{2E}{m}-\frac{ {p_\phi}^2}{m^2r^2}+2\frac{\gamma M}{r}}</math>

УведимоУведе сменусе смена:<math>\frac{p_\phi}{mr}= u</math>; <math>du=-\frac{p_\phi dr}{mr^2}</math>, па горња једначина изнад прелази у :

[[Слика:kepler-second-law.svg|десно|мини|Илустрација за Кеплеров други закон.]]

Радијус вектор [[Сунце]]-—[[планета]] у једнаким временским интервалима описује једнаке површине.

Квадрати периода обиласка планета око сунца (T) су сразмерни су кубовима великих полуоса (a) њихових путања.

Математички се, овај закон се може написати изразом:

ПођимоПође се од израза:<math>r=\frac{p}{1+\varepsilon\cos \phi}</math> и приметимопримети да је <math>r=\frac{p}{1-\epsilon}=a+e </math>;<math>\phi = \pi</math>и и:

<math>r=\frac{p}{1+\epsilon}=a-e </math>;<math>\phi = 0</math>, а- — велика полуоса елипсе; е- — ексцентритет [[Елипса|елипсе]] или растојање фокуса од центра елипсе; b- — мала полуоса, <math>b=\sqrt{a^2-e^2}</math>

У нашемовом случају: <math>p=\frac{p_\phi ^2}{\gamma M m^2}</math>; <math>1-\epsilon^2=-\frac{2E p_\phi^2}{\gamma^2 M^2 m^3}</math>; <math>a=-\frac{\gamma M m}{2E}</math>

[[Категорија:{{нормативна контрола}}{{портал бар|Астрономија]]}}

[[Категорија:ГравитацијаАстрономија]]