Експоненцијална функција — разлика између измена
Садржај обрисан Садржај додат
м Бот Додаје: ar:الدالة الأسية |
м ispravke za ostavljanje jezika u originalu |
||
Ред 1:
'''Експоненцијална функција''' је једна од најважнијих [[функција]] у [[математика|математици]]. Означава се као -{exp}-(''-{x}-'') или ''-{e}-''<sup>''-{x}-''</sup>, при чему је ''-{e}-'' приближно једнак 2.71828183, што је заправо [[Е (математичка константа)|Напијерова константа]], основа природног логаритма.
[[Слика:exp.png|мини|Експоненцијална функција је скоро равна (споро се пење) за негативне вредности x, а онда брзо расте за позитивне вредности x.]]
Експоненцијална функција је реална функција једне променљиве, дефинисана за све [[реалан број|реалне бројеве]], која је увек позитивна и растућа. Никада не додирује ''-{x}-''-осу, мада јој је ''-{x}-''-оса једина [[асимптота]]. Њена [[инверзна функција]], природни логаритам, је дефинисана само за позитивне вредности променљиве ''-{x}-''.
Понекад се, нарочито у науци, израз '''експоненцијална функција''' користи да означи функцију облика ''-{a}-''<sup>''-{x}-''</sup>, где је ''-{a}-'', које се назива ''база'' или ''основа'', било који позитиван реалан број. Овај чланак се фокусира на експоненцијалну функцију са основом ''-{e}-''.
Уопштеније, ''-{x}-'' може бити било који реалан или [[комплексан број]], или чак, тотално различити математички објекат - погледати [[#Формална дефиниција|формалну дефиницију испод]].
==Својства==
Ред 16:
: <math>\!\, a^x=e^{x \ln a}</math>
дефинисана за свако ''-{a}-'' > 0, и за сваки реалан број ''-{x}-'' се назива '''експоненцијална функција за основу ''' '''''-{a}-'''''.
Приметимо да горња једнакост важи за ''-{a}-'' = ''-{e}-'', пошто је
: <math>\!\, e^{x \ln e}=e^{x \left(1\right)}=e^x.</math>
Ред 32:
: <math>\!\, a^x b^x = (a b)^x</math>
Горње важи за све позитивне реалне бројеве ''-{a}-'' и ''-{b}-'', и за све реалне бројеве ''-{x}-'' и ''-{y}-''. Изрази који укључују разломке и кореновање често могу бити упрошћени коришћењем експоненцијалне нотације јер:
: <math>{1 \over a} = a^{-1}</math>
и, за свако ''-{a}-'' > 0, реалан број ''-{b}-'', и [[цео број]] ''-{n}-'' > 1:
: <math>\sqrt[n]{a^b} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^b = a^{b/n}</math>
За сваку реалну константу ''-{c}-'' важи:
: <math> f'(0)=\lim_{h \to 0}\frac{e^{ch}-1}{h}=c</math>
за <math>f(x)=e^{ch}</math>
Ред 49:
: <math>{d \over dx} e^x = e^x</math>
Види се да је ''-{e}-''<sup>''-{x}-''</sup> извод самом себи, што је јединствено својство међу свим реалним функцијама. Други начини да се каже исто ово укључују:
* Нагиб графика експоненцијалне функције у било којој тачки једнак је вредности функције у тој тачки.
* Стопа пораста експоненцијалне функције у тачки ''-{x}-'' једнака је вредности функције у тој тачки.
* Експоненцијална функција је решење диференцијалне једначине <math>y'=y</math>.
Ред 65:
Уколико је раст или опадање променљиве пропорционално њеној величини — као у случају неограниченог раста становништва, радиоактивног распада, сложене камате — онда се та променљива може писати као константа помножена експоненцијалном функцијом времена.
Даље, за било коју диференцијабилну функцију -{f}-(-{x}-) важи:
Furthermore for any differentiable function -{f}-(-{x}-) holds:
: <math>{d \over dx} e^{f(x)} = f'(x)e^{f(x)}</math>
Ред 72:
==Формална дефиниција==
Експоненцијална функција -{e}-<sup>''-{x}-''</sup> може се дефинисати на доста еквивалентних начина, преко бесконачних редова. Одређеније, може се дефинисати преко степених редова:
: <math>e^x = \sum_{n = 0}^{\infty} {x^n \over n!} = 1 + x + {x^2 \over 2!} + {x^3 \over 3!} + {x^4 \over 4!} + \cdots</math>
Ред 80:
: <math>e^x = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + {x \over n} \right)^n.</math>
У овим дефиницијама, <math>n!</math> означава [[факторијел]] броја ''-{n}-'', а ''-{x}-'' је или произвољан реалан број, комплексан број, елемент Банахове алгебре (на пример, квадратна матрица).
==Нумеричка вредност==
Ред 89:
:<math>= 1 + {x \over 1} \left(1 + {x \over 2} \left(1 + {x \over 3} \left(1 + \cdots \right)\right)\right)</math>
Овај израз брзо конвергира уколико је -{x}- мање од 1.
Да бисмо ово остварили, можемо искористити следећу једнакост.
Ред 106:
* следи, <math>f</math> је увек мање од 1 и збир <math>f</math> и <math>z</math> даје <math>x</math>.
Вредност константе -{e}-<sup>-{z}-</sup> се може претходно израчунато множећи ''-{e}-'' самим собом ''-{z}-'' пута.
Ред 118:
: <math>\!\, {d \over dz} e^z = e^z</math>
за свако ''-{z}-'' и ''-{w}-''.
Оваква експоненцијална функција је холоморфна, са имагинарном периодом <math>2 \pi i</math> и може се написати и као:
Ред 124:
: <math>\!\, e^{a + bi} = e^a (\cos b + i \sin b)</math>
где су ''-{a}-'' и ''-{b}-'' реални бројеви. Ова формула повезује експоненцијалну функцију са тригонометријским функцијама и хиперболичким функцијама. Овим се види да се све [[елементарне функције]] осим полиномијалних потомци експоненцијалне функције у једном или другом смислу.
Погледајте и [[Ојлерова формула|Ојлерову формулу]].
| |||