Површина — разлика између измена

Садржај обрисан Садржај додат
Autobot (разговор | доприноси)
м Разне исправке
Autobot (разговор | доприноси)
м Разне исправке; козметичке измене
Ред 1:
[[Датотека:Area.svg|alt=Three shapes on a square grid|right|мини|Укупна површина ова три облика је приближно 15,57 [[Квадрат|квадрата]].]]
 
'''Површина''' је [[геометрија|геометријски]] појам који означава меру величине геометријске слике у еуклидском дводимензионалном простору. Тачка и линија немају површину, односно њихова површина је нула. Са друге стране [[раван]] има бесконачну површину. Површина је такође и део тела у простору који је изложен спољашњости. Мерењем површина су се бавили још стари Египћани, али су га до нивоа науке подигли тек [[античка Грчка|стари Хелени]]. Код њих се површина неке геометријске слике израчунавала тако што се низом трансформација претвара у [[квадрат]] исте површине. Потом се измере странице квадрата и лако израчуна површина.<ref name="AF">{{cite web|url = http://www.math.com/tables/geometry/areas.htm|title = Area Formulas|publisher = Math.com|accessdate = 2. 077. 2012.}}</ref> Од тих дана је израчунавање површине добило други назив: ''квадратура''.
 
Површина је количина која описује у којој је мери дводимензионална фигура или облик, или планарне ламине, у [[раван|равни]]. Површина је њен аналогни појам на дводимензионалној [[Површ|површи]] тродимензионалног облика. Површина може бити схваћена као количина материјала са датом дебљином која би била потребна да обуче модел облика, или количина боје потребне да прекрије површ са униформним наносом.<ref name="MathWorld">{{cite web|url = http://mathworld.wolfram.com/Area.html|title = Area|publisher = [[Wolfram MathWorld]]|last=Weisstein|first=Eric W.|authorlink=Eric W. Weisstein|accessdate = 3. 077. 2012.}}</ref> То је дводимензионални аналог [[Дужина|дужине]] криве (једнодимензионални концепт) или [[Запремина|запремине]] чврстог тела (тродимензионални концепт).
 
У [[Међународни систем јединица|СИ систему]], стандардна јединица површине је [[квадратни метар]] (пише се као m<sup>2</sup>), што је површина квадрата чије су странице дуге по један [[метар]].<ref name="B">[[Међународни биро за тегове и мере|Bureau International des Poids et Mesures]] [http://www.bipm.org/en/CGPM/db/11/12/ Resolution 12 of the 11th meeting of the CGPM (1960)], retrieved 15 July 2012</ref> Облик са површином од три квадратна метра би имао исту површину као и три таква квадрата. У [[Математика|математици]], јединица квадрата је дефинисана да има површину од један, и површину од било којег облика или површи је [[Бездимензионална величина|бездимензиони реални број]].
 
Постоји неколико добро познатих формула за површине мањих облика као што су [[Троугао|троуглови]], [[Правоугаоник|правоугаоници]] и [[Кружница|кругови]]. Користећи ове формуле, површина сваког [[многоугао|полигона]] може се наћи дељењем полигона у троуглове.<ref name="bkos">{{Cite book |author = Mark de Berg|author2 = Marc van Kreveld|last3=Overmars|first3=Mark|author3-link = Mark Overmars|last4=Schwarzkopf|first4=Otfried| year = 2000|title = Computational Geometry|publisher = [[Springer-Verlag]]|edition = 2nd revised|isbn=978-3-540-65620-3|chapter = Chapter 3: Polygon Triangulation|pages=45–61}}</ref> За облике са закривљеним границама, [[математичка анализа|калкулус]] се често користи да се израчуна површина. Доиста, проблем одређивања површине равних фигура био је већа мотивација за историјски развој калкулуса (математичка анализа).<ref>{{Cite book|first = Carl B.|last=Boyer|authorlink = Carl Benjamin Boyer|title = A History of the Calculus and Its Conceptual Development|publisher = Dover| year = 1959|isbn=978-0-486-60509-8|pages=}}</ref>
 
За чврсти облик као што је [[сфера]], [[Купа (геометрија)|конус]] или цилиндар, површина њихових површи назива се површина површи.<ref name="MathWorld" /><ref name="MathWorldSurfaceArea">{{cite web|url = http://mathworld.wolfram.com/SurfaceArea.html|title = Surface Area|publisher = [[Wolfram MathWorld]]|last=Weisstein|first=Eric W.|authorlink=Eric W. Weisstein|accessdate = 3. 077. 2012.}}</ref> формуле за површине једноставних облика биле су рачунате у доба древних Грка, али рачунање површине компликованијих облика обично захтева мултиваријабилни калкулус.
 
Површина игра важну улогу у модерној математици. У додатку са очигледном важношћу у [[Геометрија|геометрији]] и калкулусу, површина је везана за дефиницију детерминанти у [[Линеарна алгебра|линеарној алгебри]], те је основна особина површи у диференцијалној геометрији.<ref name="doCarmo">[[Manfredo do Carmo|do Carmo, Manfredo]].</ref> У [[Анализа|анализи]], површина подскупа равни је дефинисана кориштењем мере Лебега,<ref name="Rudin">{{harvnb|Rudin|1966|ppp=20}}</ref> Генерално, површина у вишој математици види се као специјалан случај [[Запремина|запремине]] за дводимензионалне регије.<ref name="MathWorld" />
 
Површина може бити дефинисана кроз употребу аксиома, дефинишући је као функцију колекције одређених равних фигура у скуп реалних бројева. Може бити доказано да таква функција постоји.
Ред 24:
* Сваки правоугаоник -{''R''}- је у -{''M''}-. Ако правоугаоник има дужину -{''h''}- и ширину -{''k''}- тада је -{''a''(''R'') = ''hk''}-.
* Нека ''Q'' буде скуп затворен између две степ регије -{''S''}- и -{''T''}-. Степ регија је формирана од ограничене уније сусједних правоугаоника који се налазе на истој бази, нпр. -{''S'' ⊆ ''Q'' ⊆ ''T''}-. Ако постоји уникатан број -{''c''}- такав да је -{''a''(''S'') ≤ c ≤ ''a''(''T'')}- за све такве степ регије -{''S''}- и -{''T''}-, тада је -{''a''(''Q'') = ''c''}-.
 
Може бити доказано да таква површинска функција доиста постоји.<ref name="Moise">{{Cite book|last=Moise|first = Edwin|title = Elementary Geometry from an Advanced Standpoint|url = http://books.google.com/?id=7nUNAQAAIAAJ|accessdate = 15. 077. 2012.| year = 1963|publisher = Addison-Wesley Pub. Co.|id=|pages=}}</ref>
 
== Историја ==
Линија 30 ⟶ 31:
=== Површина круга ===
 
У 5. веку п. н. е., [[Хипократ са Хиоса]] је био први да покаже да је површина диска (региона обухваћеног кругом) пропорционална квадрату његовог пречника, као део његове [[Квадратура (математика)|квадратуре]] [[Хипокритов весец|Хипокритовог месеца]],<ref name="heath">{{Cite book|first=Thomas L.|last=Heath|authorlink=Thomas Little Heath|title = A Manual of Greek Mathematics|publisher=Courier Dover Publications | year = 2003|isbn=978-0-486-43231-1|url=https://books.google.com/books?id=_HZNr_mGFzQC&pg=PA121|pages=121–132}}</ref> али није идентификовао [[Пропорционалност (математика)|константу пропорционалности]]. [[Еудокс]] је исто тако у 5. веку п. н. е., утврдио да је површина диска пропорционална квадрату његовог пречника.<ref>{{Cite book|url=http://www.stewartcalculus.com/media/8_home.php|title = Single variable calculus early transcendentals.|last=Stewart|first=James|publisher=Brook/Cole| year = 2003|isbn=978-0-534-39330-4|edition=5th.|location=Toronto ON|quote=However, by indirect reasoning, Eudoxus (fifth century B.C.) used exhaustion to prove the familiar formula for the area of a circle: <math>A= \pi r^2.</math>|pages=3}}</ref>
 
Књига -{I}- [[Еуклидови Елементи|Еуклидових ''Елемената'']] се бави једнакошћу области између дводимензионалних фигура. Математичар [[Архимед]] је користио оруђа [[Еуклидова геометрија|Еуклидове геометрије]] да покаже да је област унутар круга једнака површини [[Правоугаони троугао|правоугаоног троугла]] чија база има дужину обима круга и чија висина је једнака полупречнику круга, у својој књизи ''[[Мерење круга]]''. (Обим је -{2{{pi}}''r''}-, и површина троугла је половина базе пута висина, из чега следи да је површина диска {{pi}}-{''r''}-<sup>2</sup>.) Архимед је апроксимирао вреднсот параметра π (и стога је површина круга јединичног полупречника) путем [[Површина круга|његовог метода удвостручавања]], у коме је уписивао регуларни троугао у круг, бележио његову површину, и затим удвостручавао број страна да би добио регуларни [[Шестоугао|хексагон]], након тога је понављао удвостручавање броја страна чиме је површина полигона постајала све ближа површини круга (и исто је радио са [[Тангентални полигон|описаним полигонима]]).
 
Швајцарски научник [[Јохан Хајнрих Ламберт]] је 1761. године доказао да је [[пи|π]], однос површине круга и квадрата његовог полупречника, и да је једнака [[ирационалан број|ирационалном]] броју, што значи да није једнака количнику било која два цела броја.<ref name=Arndt>{{citeCite book|last=Arndt|first=Jörg |last2=Haene l|first2=Christoph |title = Pi Unleashed| publisher=Springer-Verlag| year = 2006|isbn=978-3-540-66572-4 |url= https://books.google.com/?id=QwwcmweJCDQC&printsec=frontcover#v=onepage&q&f=false |ref=harv |accessdate = 5. 6. 2013.}} English translation by Catriona and David Lischka.</ref> Године 1794. је француским математичар [[Адријен-Мари Лежандр]] доказао да је π<sup>2</sup> иранционална вредност; тиме је такође доказано да је π ирационално.<ref>{{cite book|last=Eves|first=Howard|title = An Introduction to the History of Mathematics|edition=6th| year = 1990|publisher=Saunders|isbn=978-0-03-029558-4|pages=121}}</ref> Године 1882, немачки математичар [[Фердинанд фон Линдеман]] доказао да је π [[трансцендентан број|трансцендентна]] вредност (да није решење било које [[алгебарска једначина|полиномне једначине]] са рационалним коефицијентима), чиме је потврдио претпоставку [[Адријен-Мари Лежандр|Лежандра]] и Ојлера.<ref name=Arndt/>{{rp|p. 196}}
 
=== Површина троугла ===
 
[[Херон|Херон (или Херо) од Александрије]] утврдио је такозвану [[Херонова формула|Херонову формулу]] за површину троугла изражену односом његових страна, и доказ се може наћи у његовој књизи, ''Метрика'', коју је написао око 60. године. По неким изворима [[Архимед]] је знао ту формулу пар векова раније,<ref>{{cite book| authorlast=Heath, |first=Thomas L.| title = A History of Greek Mathematics (Vol II)| publisher=Oxford University Press
| year = 1921
|pages=321–323}}</ref> и пошто је ''Метрика'' колекција математичког знања доступног у античком свету, могуће је да та формула предатира референце дате у том раду.<ref>{{MathWorld |urlname=HeronsFormula |title = Heron's Formula}}</ref>
 
Године 499. [[Aryabhata|Аријабхата]], велики [[математичар]]-[[астроном]] из класичног доба [[Индијска математика|индијске математике]] и [[Индијска астрономија|индијске астрономије]], изразио је површину троугла као једну половину базе помножену висином у свом раду -{''[[Aryabhatiya]]''}- (секција 2.6).
Линија 64 ⟶ 65:
 
За ([[једноставни полигон|једноставни]]) полигон који не пресеца самог себе, [[Декартов координатни систем|картезијанске координате]] <math>(x_i, y_i)</math> (-{''i''=0, 1, ..., ''n''-1}-) чијих -{''n''}- темена је познато, површина је дата [[Формула пертле|геодетском формулом]]:<ref>{{cite web
| url = http://www.seas.upenn.edu/~sys502/extra_materials/Polygon%20Area%20and%20Centroid.pdf
| title = Calculating The Area And Centroid Of A Polygon
| last = Bourke
| first = Paul
| date = 1988
| work =
| publisher =
| accessdate = 6. 2. 2013
}}</ref>
 
Линија 80 ⟶ 81:
==== Правоугаоници ====
[[Датотека:RectangleLengthWidth.svg|мини|right|180px|alt=A rectangle with length and width labelled|Површина овог правоугаоника је {{mvar|lw}}.]]
Најосновнија формула површине је формула за површину [[правоугаоник]]а. Ако је дат правоугаоник са дужином {{mvar|l}} и ширином {{mvar|w}}, формула за површину је:</big><ref name=AF /><ref>{{cite web|url=http://proofwiki.org/wiki/Area_of_Parallelogram/Rectangle|title = Area of Parallelogram/Rectangle|publisher=ProofWiki.org|accessdate = 29. 5. 2016}}</ref>
 
:{{bigmath|''A'' {{=}} ''lw''}} (правоугаоник).
 
Површина правоугаоника је дужина помножена ширином. Као специјални случај, кад је {{math|''l'' {{=}} ''w''}} у случају квадрата, површина квадрата са дужином стране {{mvar|s}} је дата формулом:<ref name=MathWorld/><ref name=AF/><ref>{{cite web|url=http://proofwiki.org/wiki/Area_of_Square|title = Area of Square|publisher=ProofWiki.org|accessdate = 29. 5. 2016.}}</ref>
:{{bigmath|''A'' {{=}} ''s''<sup>2</sup>}} (квадрат).
 
Линија 100 ⟶ 102:
Међутим, исти паралелограм се исто тако може пресећи дуж [[дијагонала|дијагонале]] у два [[Подударност (геометрија)|подударна]] троугла, као што је приказано на слици с десне стране. Површина сваког [[троугао|троугла]] је половина површине паралелограма:<ref name=AF/>
:<math>A = \frac{1}{2}bh</math> <big> (троугао).</big>
Слични аргументи могу се користити за проналажење формуле за површину [[четвороугао|трапезоида]]<ref>{{cite book|title = Problem Solving Through Recreational Mathematics| last = Averbach|first=Bonnie|first2=Orin|last2=Chein|publisher=Dover| year = 2012|isbn=978-0-486-13174-0|url=https://books.google.com/books?id=Dz_CAgAAQBAJ&pg=PA306|pages=306}}</ref> као и компликованијих [[многоугао|полигона]].<ref>{{cite book|title = Calculus for Scientists and Engineers: An Analytical Approach|first=K. D.|last=Joshi|publisher=CRC Press| year = 2002|isbn=978-0-8493-1319-6|url=https://books.google.com/books?id=5SDcLHkelq4C&pg=PA43|pages=43}}</ref>
 
=== Површина закривљених облика ===
Линија 110 ⟶ 112:
Формула за површину [[круг]]а (прецизније површина обухваћена кругом или површина [[круг|диска]]) базирана је на сличном методу. Полазећи од полупречника круга {{math|''r''}}, могуће је поделити круг у [[Кружни сектор|секторе]], као што је приказано на слици десно. Сваки сектор је апроксимативно троугаон по облику, и сектори се могу аранжирати тако да формирају апроксимативни паралелограм. Висина паралелограма је {{math|''r''}}, а ширина је половина [[обим]]а круга, или {{math|π''r''}}. Стога је тотална површина круга {{math|π''r''<sup>2</sup>}}:<ref name=AF/>
:{{bigmath|''A'' {{=}} π''r''<sup>2</sup>}} <big> (круг).</big>
Мада је дисекција која се користи у овој формули само приближна, грешка постаје све мања и мања како се круг дели у све мање и мање секторе. [[Гранична вредност|Лимит]] површине апроксимираног паралелограма је прецизно {{math|π''r''<sup>2</sup>}}, што је површина круга.<ref name=Surveyor>{{cite journal|last=Braden|first=Bart|date=September 1986|title = The Surveyor's Area Formula|journal=The College Mathematics Journal|volume=17|issue=4|publisher=|doi=10.2307/2686282|url=http://www.maa.org/pubs/Calc_articles/ma063.pdf|accessdate = 15. 7. 2012.|pages=326–337}}</ref>
 
Овај аргумент је заправо једноставна примена идеје [[Инфинитезимални рачун|инфинитезималног рачуна]]. У античка времена, [[метод исцрпљивања]] је кориштен на сличан начин за налажење површине круга, и тај метод се сад сматра прекурзором [[Интеграл|интегралног рачуна]]. Користећи модерне методе, површина круга се може израчунати користећи [[одређени интеграл]]:
:<math>A \;=\;2\int_{-r}^r \sqrt{r^2 - x^2}\, dx \;=\; \pi r^2.</math>
 
==== Елипсе ====
{{main article|Елипса#Површина}}
Формула за површину обухваћену [[елипса|елипсом]] је сродна формули за круг; за елипсу са [[Велика полуоса|великом]] и [[Велика полуоса|малом]] полуосом {{math|''x''}} и {{math|''y''}} формула је:<ref name=AF /><ref>{{cite web|url=http://proofwiki.org/wiki/Area_of_Parallelogram/Rectangle|title = Area of Parallelogram/Rectangle|publisher=ProofWiki.org|accessdate = 29. 5. 2016.}}</ref>
 
:<math>A = \pi xy .</math>
Линија 133 ⟶ 135:
 
==== Површине дводимензионалних фигура ====
* [[Троугао]]: <math>\tfrac12Bh</math> (где је -{''B''}- било која страна, и -{''h''}- је растојање од линије на којој -{''B''}- лежи до другог темена троугла). Ова формула се може користити ако је висина -{''h''}- позната. Ако су познате дужине три стране онда се може користити ''[[Херонова формула]]'': <math>\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}</math> где су -{''a''}-, -{''b''}-, -{''c''}- стране троугла, и <math>s = \tfrac12(a + b + c)</math> је половина његовог обима.<ref name=AF/> Ако су један угао и две стране дате, површина је <math>\tfrac12 a b \sin(C)</math> где је {{math|''C''}} дати угао и {{math|''a''}} и {{math|''b''}} су стране.<ref name=AF/> Ако је троугао приказан на координатној равни, може се користити матрица која се поједностављује апсолутном вредношћу израза <math>\tfrac12(x_1 y_2 + x_2 y_3 + x_3 y_1 - x_2 y_1 - x_3 y_2 - x_1 y_3)</math>. Ова формула је позната као [[формула пертле]] и то је један једноставан начин израчунавања површине троугла заменом координата три тачке ''(x<sub>1</sub>, y<sub>1</sub>)'', ''(x<sub>2</sub>, y<sub>2</sub>)'', и ''(x<sub>3</sub>, y<sub>3</sub>)''. Формула пертле се исто тако може користити за налажење површине других полигона кад су њигова темена позната. Још један приступ налажењу површине координатног троугла је путем [[математичка анализа|калкулуса]].
* [[једноставни полигон]] конструисан на мрежи равномерно размакнутих тачака (i.e., тачака са [[Цео број|целобројним]] координатама) таквој да су сва темена полигона тачке на мрежи: <math>i + \frac{b}{2} - 1</math>, где је -{''i''}- број тачака мреже унутар полигона и -{''b''}- је број граничних тачака.<ref name=Pick>{{cite journal |last=Trainin|first=J. |title = An elementary proof of Pick's theorem |journal=[[Mathematical Gazette]] |volume=91 |issue=522 |date=November 2007 |pages=536–540}}</ref> Овај резултат је познат као [[Пикова теорема]].<ref name=Pick/>
 
==== Површина у рачуну ====
Линија 155 ⟶ 157:
где је -{''f''(''x'')}- квадратна горња граница и -{''g''(''x'')}- је квадратна доња граница. [[Дискриминанта]] -{''f''(''x'')-''g''(''x'')}- се дефинише као
:<math>\Delta=b^2-4ac.</math>
Поједностављујући интегралну формулу између графова две функције (као што је дато у горњој секцији) и користећи [[Вијетове формуле]], добија се<ref>{{cite book|title = Matematika|url=https://books.google.com/books?id=NFkVfrZBqpUC&pg=PA51|publisher=PT Grafindo Media Pratama|isbn=978-979-758-477-1|pages=51}}</ref><ref>{{cite book|title = Get Success UN +SPMB Matematika|url=https://books.google.com/books?id=uwqvITs8OaUC&pg=PA157|publisher=PT Grafindo Media Pratama|isbn=978-602-00-0090-9|pages=157}}</ref>
:<math>A=\frac{\Delta\sqrt{\Delta}}{6a^2}=\frac{a}{6}(\beta-\alpha)^3,\qquad a\neq0.</math>
Ово остаје валидно ако је једна од функција линеарна.
 
==== Површина тродимензионалних фигура ====
* [[Купа (геометрија)|Купа]]:<ref name=MathWorldCone>{{cite web|url=http://mathworld.wolfram.com/Cone.html|title = Cone|publisher=[[Wolfram MathWorld]]|authorlink=Eric W. Weisstein|last=Weisstein|first=Eric W.|accessdate = 6. 7. 2012.}}</ref> <math>\pi r\left(r + \sqrt{r^2 + h^2}\right)</math>, где је -{''r''}- полупречник кружне основе, и -{''h''}- је висина. Ово се исто тако може написати као <math>\pi r^2 + \pi r l </math><ref name=MathWorldCone/> или <math>\pi r (r + l) \,\!</math> где је -{''r''}- полупречник и -{''l''}- је висина нагиба купе. <math>\pi r^2 </math> је база површине, док је <math>\pi r l </math> латерална површина купе.<ref name=MathWorldCone/>
* [[коцка]]: <math>6s^2</math>, где је -{''s''}- дужина ивице.<ref name=MathWorldSurfaceArea/>
* [[Ваљак (геометрија)|цилиндар]]: <math>2\pi r(r + h)</math>, где је -{''r''}- полупречник основе и -{''h''}- је висина. ''2<math>\pi</math>r'' се такође може написати као ''<math>\pi</math> -{d}-'', где је -{''d''}- дикаметар.
Линија 168 ⟶ 170:
 
==== Општа формула за површину ====
Општа формула за површину графа непрекидно диференцијабилне функције <math>z=f(x, y),</math> где је <math>(x, y)\in D\subset\mathbb{R}^2</math> и <math>D</math> је регион у xy-равни са глатким границама:
: <math> A=\iint_D\sqrt{\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)^2+1}\, dx\, dy. </math>
Још општија формула за површину графа [[параметарска површина|параметарске површине]] у векторском облику <math>\mathbf{r}=\mathbf{r}(u, v),</math> где је <math>\mathbf{r}</math> непрекидно диференцијабилна векторска функција <math>(u, v)\in D\subset\mathbb{R}^2</math> је:<ref name="doCarmo"/>
: <math> A=\iint_D \left|\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial u}\times\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial v}\right|\, du\, dv. </math>
 
=== Основне формуле ===
Линија 237 ⟶ 239:
* 1 -{ar}- = 100 -{m<sup>2</sup>}- = 10<sup>2</sup>m<sup>2</sup>
* 1 -{ha}- = 10 000 -{m<sup>2</sup>}- = 10<sup>4</sup>m<sup>2</sup> (један [[хектар]])
* 1 -{km<sup>2</sup>²}- = 1 000 000 -{m<sup>2</sup>}- = 10<sup>6</sup>m<sup>2</sup> (један [[квадратни километар]])
 
== Види још ==
Линија 246 ⟶ 248:
 
== Литература ==
* {{Cite book | ref = harv | last=Arndt|first=Jörg |last2=Haene l|first2=Christoph |title = Pi Unleashed| publisher=Springer-Verlag| year = 2006|isbn=978-3-540-66572-4 |url= https://books.google.com/?id=QwwcmweJCDQC&printsec=frontcover#v=onepage&q&f=false |accessdate = 5. 6. 2013}} English translation by Catriona and David Lischka.</ref> Године 1794. је француским математичар [[Адријен-Мари Лежандр]] доказао да је π<sup>2</sup> иранционална вредност; тиме је такође доказано да је π ирационално.<ref>{{cite book|last=Eves|first=Howard|title = An Introduction to the History of Mathematics|edition=6th| year = 1990|publisher=Saunders|isbn=978-0-03-029558-4|pages=121}}
* {{Cite book | ref = harv |url=http://www.stewartcalculus.com/media/8_home.php|title = Single variable calculus early transcendentals.|last=Stewart|first=James|publisher=Brook/Cole| year = 2003|isbn=978-0-534-39330-4|edition=5th.|location=Toronto ON|quote=However, by indirect reasoning, Eudoxus (fifth century B.C.) used exhaustion to prove the familiar formula for the area of a circle: <math>A= \pi r^2.</math>|pages=3}}
* {{Cite book | ref = harv |first=Thomas L.|last=Heath|authorlink=Thomas Little Heath|title=A Manual of Greek Mathematics|publisher=Courier Dover Publications |year=2003|isbn=978-0-486-43231-1|url=https://books.google.com/books?id=_HZNr_mGFzQC&pg=PA121|pages=121–132}}
* {{Cite book | ref = harv |first=Thomas L.|last=MoiseHeath|firstauthorlink=Thomas =Little EdwinHeath|title = ElementaryA GeometryManual fromof anGreek AdvancedMathematics|publisher=Courier Dover Publications Standpoint|url year = http2003|isbn=978-0-486-43231-1|url=https://books.google.com/books?id=7nUNAQAAIAAJ|accessdate = 15. 07. 2012.|year=1963|publisher = Addison-Wesley Pub. Co.|id_HZNr_mGFzQC&pg=PA121|pages=121–132}}
* {{Cite book | ref = harv |last=RudinMoise|first =Walter Edwin|title =Real andElementary ComplexGeometry Analysisfrom an Advanced Standpoint|publisherurl =McGraw-Hill http://books.google.com/?id=7nUNAQAAIAAJ|accessdate = 15. 7. 2012| year =1966 1963|isbnpublisher =978 Addison-0-07-100276-9Wesley Pub. Co.|id=|pages=}}
* {{Cite book |ref= harv|first = Carl B.|last=BoyerRudin|authorlink first= Carl Benjamin BoyerWalter|title = A History of the CalculusReal and ItsComplex Conceptual DevelopmentAnalysis|publisher =McGraw-Hill| Dover|year =1959 1966|isbn=978-0-48607-60509100276-89|pages=}}
* {{Cite book|ref= harv|first = Carl B.|last=Boyer|authorlink = Carl Benjamin Boyer|title = A History of the Calculus and Its Conceptual Development|publisher = Dover| year = 1959|isbn=978-0-486-60509-8}}
 
== Спољашње везе ==