|
:<math>ax^2+bx=c</math>
{{Цитат|Апсолутном броју помноженим четири пута [коефицијентом] квадрата, додај квадрат [коефицијента] средњег члана; квадратни корен овога, мање [коефицијент] средњег члана подељен двоструким [коефицијентом] квадрата је вредност. -{(''Brahmasphutasiddhanta'' (Colebrook translation. (1817). стр. 346)}-<ref name=stillwell-p87>{{harvnb|Stillwell|2004|p=87}}</ref>}}
Што је еквивалентно са:
:<math>x = \frac{\sqrt{4ac+b^2}-b}{2a} </math>
Он зе затим решио системе симултаних [[indeterminate equations|неодређених једначина]] наводећи да жељене променљиве морају прво да буду изоловане, и затим једначина мора да буде подељена [[коефицијент]]ом жељене променљиве. Специфично, он је препоручио коришћење „дробилицe” за решавање једначина са вишеструким непознатама.<ref name="Plofker Chapter 18 Brahmasphutasiddhanta"/>
He went on to solve systems of simultaneous [[indeterminate equations]] stating that the desired variable must first be isolated, and then the equation must be divided by the desired variable's [[coefficient]]. In particular, he recommended using "the pulverizer" to solve equations with multiple unknowns.
Попут алгебре [[Диофант]]а, алгебра Брамагупте је била синкопирана. Додавање је било означено стављањем бројеве једног поред другог, одузимање стављањем тачке изнад умањиоца, и дељење стављањем делиоца испод дељеног броја, слично нашој нотаци али без црте. Множење и непознати квантитети су били представљени скраћеницама подесних термина.<ref name="Boyer Brahmagupta Indeterminate equations">{{harvtxt|Boyer|1991|loc="China and India" p. 221}} </ref> Величина грчког утицаја на ову [[History of algebra|синкопацију]], ако постоји, није познатa и могуће је да су и грчка и индијска синкопа изведене из заједничког вавилонског извора.<ref name="Boyer Brahmagupta Indeterminate equations"/>
<blockquote>18.51. Subtract the colors different from the first color. [The remainder] divided by the first [color's coefficient] is the measure of the first. [Terms] two by two [are] considered [when reduced to] similar divisors, [and so on] repeatedly. If there are many [colors], the pulverizer [is to be used].<ref name="Plofker Chapter 18 Brahmasphutasiddhanta"/></blockquote>
Like the algebra of [[Diophantus]], the algebra of Brahmagupta was syncopated. Addition was indicated by placing the numbers side by side, subtraction by placing a dot over the subtrahend, and division by placing the divisor below the dividend, similar to our notation but without the bar. Multiplication, evolution, and unknown quantities were represented by abbreviations of appropriate terms.<ref name="Boyer Brahmagupta Indeterminate equations">{{harvtxt|Boyer|1991|loc="China and India" p. 221}} </ref> The extent of Greek influence on this [[History of algebra|syncopation]], if any, is not known and it is possible that both Greek and Indian syncopation may be derived from a common Babylonian source.<ref name="Boyer Brahmagupta Indeterminate equations"/>
=== Аритметика ===
Четири фундаменталне операције (сабирање, одузимање, множење и дељење) биле су познате многим културама пре Брамагупте. Овај садашњи систем заснива се на хинду-арапском бројном систему, и први пут се појавио у делу [[Brāhmasphuṭasiddhānta|Брамасфутасиданта]]. Брамагупта описује множење овако: „Множилац се понавља у низу попут марве, толико често колико има интегралних делова у мултипликатору и понављиво је помножен њиме и продукти се сабирају заједно. То је множење. Или се мултипликатор понавља колико год саставних делова има у множиоцу.”<ref>''Brahmasputha Siddhanta'', Translated to English by H.T Colebrook, 1817 AD</ref> Индијска аритметика је била позната у средњевековној Европи као „Модус Индорам”, са значењем метод Индијаца. У Брамасфутасиданти, множење се звало ''гомутрика''. На почетку дванаестог поглавља овог његовог дела, насловљеног ''Рачун'', Брахмагупта даје детаље операција на [[Разломак|разломцима]]. Од читаоца се очекује да зна основне аритметичке операције као што је вађење квадратног корена, мада он објашњава дизање на трећи степен и кубни корен целог броја, и касније даје правила која олакшавају израчунавање квадрата и квадратних корена. Он затим даје правила за решавање пет врста комбиновања разломака: {{math|{{sfrac|''a''|''c''}} + {{sfrac|''b''|''c''}}}}; {{math|{{sfrac|''a''|''c''}} × {{sfrac|''b''|''d''}}}}; {{math|{{sfrac|''a''|1}} + {{sfrac|''b''|''d''}}}}; {{math|{{sfrac|''a''|''c''}} + {{sfrac|''b''|''d''}} × {{sfrac|''a''|''c''}} {{=}} {{sfrac|''a''(''d'' + ''b'')|''cd''}}}}; and {{math|{{sfrac|''a''|''c''}} − {{sfrac|''b''|''d''}} × {{sfrac|''a''|''c''}} {{=}} {{sfrac|''a''(''d'' − ''b'')|''cd''}}}}.<ref>{{harvtxt|Plofker|2007|pp=422}} The reader is apparently expected to be familiar with basic arithmetic operations as far as the square-root; Brahmagupta merely notes some points about applying them to fractions. The procedures for finding the cube and cube-root of an integer, however, are described (compared the latter to Aryabhata's very similar formulation). They are followed by rules for five types of combinations: [...]</ref>
The four fundamental operations (addition, subtraction, multiplication, and division) were known to many cultures before Brahmagupta. This current system is based on the Hindu Arabic number system and first appeared in Brahmasphutasiddhanta. Brahmagupta describes the multiplication as thus “The multiplicand is repeated like a string for cattle, as often as there are integrant portions in the multiplier and is repeatedly multiplied by them and the products are added together. It is multiplication. Or the multiplicand is repeated as many times as there are component parts in the multiplier”.
<ref>''Brahmasputha Siddhanta'', Translated to English by H.T Colebrook, 1817 AD</ref> Indian arithmetic was known in Medieval Europe as "Modus Indoram" meaning method of the Indians. In Brahmasphutasiddhanta, multiplication was named Gomutrika. In the beginning of chapter twelve of his ''Brahmasphutasiddhanta'', entitled ''Calculation'', Brahmagupta details operations on fractions. The reader is expected to know the basic arithmetic operations as far as taking the square root, although he explains how to find the cube and cube-root of an integer and later gives rules facilitating the computation of squares and square roots. He then gives rules for dealing with five types of combinations of fractions: {{math|{{sfrac|''a''|''c''}} + {{sfrac|''b''|''c''}}}}; {{math|{{sfrac|''a''|''c''}} × {{sfrac|''b''|''d''}}}}; {{math|{{sfrac|''a''|1}} + {{sfrac|''b''|''d''}}}}; {{math|{{sfrac|''a''|''c''}} + {{sfrac|''b''|''d''}} × {{sfrac|''a''|''c''}} {{=}} {{sfrac|''a''(''d'' + ''b'')|''cd''}}}}; and {{math|{{sfrac|''a''|''c''}} − {{sfrac|''b''|''d''}} × {{sfrac|''a''|''c''}} {{=}} {{sfrac|''a''(''d'' − ''b'')|''cd''}}}}.<ref>{{harvtxt|Plofker|2007|pp=422}} The reader is apparently expected to be familiar with basic arithmetic operations as far as the square-root; Brahmagupta merely notes some points about applying them to fractions. The procedures for finding the cube and cube-root of an integer, however, are described (compared the latter to Aryabhata's very similar formulation). They are followed by rules for five types of combinations: [...]</ref>
==== Серије ====
Брамагупта thenзатим goesдаје onсуму toквадрата giveи theкубова sum of the squares and cubes of the firstпрвих {{math|''n''}} integersцелих бројева.
<blockquote>12.20. TheСума sumквадрата ofје the squares is thatта [sumсума] multipliedпомножена byса twice theдвоструким [number ofбројем] stepкорак[sа] increasedувећана byза oneједан [andи] dividedподељена byса threeтри. TheСума sumкубова ofје theквадрат cubes is the square of thatте [sum] Piles of these with identical balls [can also be computedсуме].<ref name="Plofker Brahmagupta quote Chapter 12">{{harvtxt|Plofker|2007|pp=421–427}}</ref></blockquote>
HereОвде Brahmaguptaје foundБрамагупта theнашао resultрезултат inу terms of theсмислу ''sumсуме'' of the firstпрвих {{math|''n''}} integersцелих бројева, ratherа thanне inу terms ofсмислу {{math|''n''}} asкако isсе theто modernчини practiceу данашњој пракси. <ref name="Plofker 423">{{harvtxt|Plofker|2007|p=423}} Here the sums of the squares and cubes of the first ''n'' integers are defined in terms of the sum of the ''n'' integers itself;</ref>
HeОн givesдаје theсуму sumквадрата of the squares of the firstпрвих {{math|''n''}} naturalприродних numbersбројева asкао {{math|{{sfrac|''n''(''n'' + 1)(2''n'' + 1)|6}}}}, andи theсуму sumкубова of the cubes of the firstпрвих {{math|''n''}} naturalприродних numbersбројева asкао {{math|<big>(</big>{{sfrac|''n''(''n'' + 1)|2}}<big>)</big>{{su|p=2}}}}.
== Астрономија ==
| 