Википедија

Diofantove jednačine — разлика између измена

Интерактиван преглед историје
Новија измена →
Садржај обрисан Садржај додат
ВизуелноВикитекст
.
 
Autobot (разговор | доприноси)
1.572.075 измена
м Разне исправке; козметичке измене
Ред 1:
'''Diofantska jednačina''' je algebarska jednačina s dve ili više nepoznatih s celobrojnim koeficijentima u kojoj se traže celobrojna ili [[Skup racionalnih brojeva|racionalna]] rešenja. Ime je dobila po [[Diofant|Diofantu]]u koji je prvi sistematski proučavao takve jednačine.<ref>{{Cite book| first=L. J.|last=Mordell | authorlink=Louis Mordell | title=Diophantine equations | publisher=[[Academic Press]] | year=1969 | isbnid=ISBN 0-12-506250-8 | zbl=0188.34503 | series=Pure and Applied Mathematics | volume=30 }}</ref>
 
== Linearne diofantske jednačine ==
{{colbegin|2}}
Diofantska [[linearne jednačine|linearna jednačina]] je [[Jednačine|jednačina]] oblika:
::<math>ax+by=c</math>
gdje su -{a, b}- i -{c}- neki [[Skup celih brojeva|celi brojevi]].
 
Ред 81:
{{colbegin|2}}
Ne postoji univerzalna metoda rešavanja ovih jednačina, ali zato postoji niz metoda kojima se rešavaju neki specijalni tipovi nelinearnih diofantskih jednačina. Neki od tih metoda su:
# metod faktorizacije
# metod razlomka
# metod poslednje cifre
# metod kongruencije
# metod zbira potencija s parnim eksponentima
# metod nejednakosti
 
=== Metod faktorizacije ===
Metod faktorizacije sastoji se u tome da se jedna strana jednačine zapiše u obliku [[proizvod]]a celobrojnih vrednosti, pa uzimajući u obzir drugu stranu jednačine posmatraju se mogući slučajevi.
 
Ред 121:
|}
 
=== Metod razlomka ===
Osnovna ideja ovog metoda slična je kao kod metode faktorizacije, samo što se sada jedna stranu jednačine zapisuje u obliku razlomka dve celobrojne vrednosti, dok druga strane jednačine ima takođe celobrojnu vrednost. Zbog toga nazivnik tog razlomka mora deliti brojnik, što daje klasifikaciju mogućih slučajeva. Spomenuti razlomak se u praksi najčešće dobija tako da se jedna nepoznata izrazi kao racionalna funkcija druge.
:<math>xy+2y=x</math>
Ред 131:
-1,3,0,-2 \end{Bmatrix}</math>
 
=== Metod poslednje cifre ===
Metod poslednje cifre je podmetod metoda ostataka koji koristi ispitivanje ostataka pri deljenju brojem 10. Preciznije, razdvajanje slučajeva se vrši posmatranjem zadnje cifre nekih delova jednačine, te njihovim usklađivanjem.
 
Ред 137:
Kvadrat celog broja završava cifrom 0, 1, 4, 5, 6, ili 9, a broj <math>5y</math> sa 0 ili 5, pa zbir na levoj strani završava sa 0, 1, 4, 5, 6, ili 9, a ne sa 3. Jednačina nema rešenja.
 
=== Metod kongruencije ===
:<math>x^2-4y=1995 </math>
:<math>1995</math> neparan, a <math>4y</math> paran, pa je <math>x</math> neparan
Ред 146:
Jednačina nema rešenja, jer 1994 nije deljivo sa 4
 
=== Metod zbira potencija s parnim eksponentima ===
Metod zbira je sličan metodu faktorizacije, samo što se sada jedna strana jednačine zapisuje u obliku zbira (najčešće nenegativnih) celih brojeva.
:<math>x^2+y^2+2x-4y+8=0</math>
Ред 154:
:<math>(x,y) \in \begin{Bmatrix} (1,5),(2,4) \end{Bmatrix}</math>
 
=== Metod nejednakosti ===
Ovaj metod se često koristi da bi se smanjio skup mogućih rešenja date jednačine, a zatim se na tom smanjenom skupu razlikuju slučajevi. Na tom smanjenom skupu razlikuju se slučajevi. Metod nejednakosti se često koristi i u kombinaciji s nekim drugom metodom za rešavanje nelinearnih diofantskih jednačina
:<math>3^x+4^x=5^x</math>
Ред 203:
 
== Literatura ==
{{refbegin|30em}}
* {{Cite book | ref=harv|last=Schmidt | first=Wolfgang M. | authorlink=Wolfgang M. Schmidt | title=Diophantine approximations and Diophantine equations | series=Lecture Notes in Mathematics | publisher=[[Springer-Verlag]] | year=1991 | isbnid=ISBN 3-540-54058-X | volume=1467 | location=Berlin | zbl=0754.11020 }}
* {{Cite book| first1ref=harv|first=T. N.|last1last=Shorey | first2=R.|last2=Tijdeman |author2-link=Robert Tijdeman| title=Exponential Diophantine equations | series=Cambridge Tracts in Mathematics | volume=87 | publisher=[[Cambridge University Press]] | year=1986 | isbnid=ISBN 0-521-26826-5 | zbl=0606.10011 }}
* {{Cite book| ref=harv|first=Nigel P.|last=Smart | title=The algorithmic resolution of Diophantine equations | series=London Mathematical Society Student Texts | volume=41 | publisher=Cambridge University Press | year=1998 | isbnid=ISBN 0-521-64156-X | zbl=0907.11001 }}
* {{Cite book | ref=harv|first=John | last=Stillwell | title=Mathematics and its History | edition=Second | publisher=Springer Science + Business Media Inc. | year=2004 | isbnid=ISBN 0-387-95336-1}}
* {{citeCite book |ref=harv| last=Dickson | first=Leonard Eugene | author-link=Leonard Eugene Dickson | title=[[History of the Theory of Numbers]]. Volume II: Diophantine analysis | origyear=1920 | zbl=1214.11002 | mr=0245500 | location=Mineola, NY | publisher=Dover Publications | isbn=978-0-486-44233-4 | year=2005}}
{{refend}}
 
Преузето из „https://sr.wikipedia.org/wiki/Diofantove_jednačine”