Kompaktan prostor — разлика између измена

м
Разне исправке
м (Разне исправке)
[[FileДатотека:Compact.svg|thumb|upright=1.6|Interval {{math|''A'' {{=}} (−∞, −2]}} nije kompaktan zato što nije ograničen. Interval {{math|''C'' {{=}} (2, 4)}} nije kompktan zato što nije zatvoren. Interval {{math|''B'' {{=}} [0, 1]}} je kompaktan zato što je zatvoren i ograničen.]]
 
U [[mathematics|matematici]], i specifičnije [[general topology|opštoj topologiji]], '''kompaktnost''' je svojstvo koje generalizuje pojam podskupa [[Euclidean space|Euklidovog prostora]] koji je [[closed set|zatvoren]] (da sadrži sve svoje [[limit point|granične tačke]]) i [[bounded set|ograničen]] (onaj kod koga sve njegove tačke leže na datom fiksnom rastojanju jedna od druge). Primeri su [[closed interval|zatvoreni interval]], [[rectangle|četvorougao]], ili konačni set tačaka. Ovaj je pojam definisan za opštije [[topological space|topološke prostore]], nego što je Euklidov prostor na razne načine.<ref>{{cite book |last=Bartle |first=Robert G. |last2=Sherbert |first2=Donald R. |dateyear=2000 |title=Introduction to Real Analysis |url= |edition=3rd |location=New York |publisher=J. Wiley |isbnid= |accessdate= }}</ref><ref name="Fitzpatrick">{{cite book |last=Fitzpatrick |first=Patrick M. |dateyear=2006 |title=Advanced Calculus |url= |edition=2nd |location=Belmont, CA |publisher=Thomson Brooks/Cole |isbnid=ISBN 0-534-37603-7 |accessdate= }}</ref>
 
Jedna takva generalizacija je da je topološki prostor [[sequentially compact|''sekvencijalno'' kompaktan]] ako svaki [[infinite sequence|infinitivni niz]] tačaka uzet kao uzorak prostora ima beskonačni [[podniz]] koji konvergira u istu tačku prostora. [[Bolcano-Vajerštrasova teorema]] navodi da je podskup Euklidovog prostora kompaktan u ovom sekvencijalnom smislu ako i samo ako je zatvoren i ograničen.<ref name="Fitzpatrick" /> Stoga, ako se izabere beskonačan broj tačaka u ''zatvorenom'' [[unit interval|jediničnom intervalu]] {{math|[0, 1]}} neke od tih tačaka će biti proizvoljno blizo nekim realnom broju u tom prostoru. Na primer, neki od brojeva {{nowrap|1/2, 4/5, 1/3, 5/6, 1/4, 6/7, &hellip;}} se akumuliraju do 0 (drugi se akumuliraju do 1). Isti skup tačaka se ne bi akumulirao do bilo koje tačke ''otvorenog'' jediničnog intervala {{math|(0, 1)}}; tako da otvoreni jedinični interval nije kompaktan. Sam Euklidov prostor nije kompaktan, jer nije ograničen. Na primer, niz tačaka {{nowrap|0, 1, 2, 3, …}} nije niz koji konvergira u bilo koji realni broj.<ref>{{cite book |last=Bartle |first=Robert G. |last2=Sherbert |first2=Donald R. |dateyear=2000 |title=Introduction to Real Analysis |url= |edition=3rd |location=New York |publisher=J. Wiley |isbnid= |accessdate= }}</ref>
 
Osim zatvorenih i ograničenih podskupova Euklidovog prostora, tipični primeri kompaktnih prostora obuhvataju prostore koji se ne sastoje od geometrijskih tačaka već od [[function space|funkcija]]. Termin ''kompaktan'' je uveo u matematiku [[Maurice Fréchet|Moris Freše]] 1904. godine kao destilaciju ovog koncepta. Kompaktnost u ovoj generalnijoj situaciji igra ekstremno važnu ulogu u [[mathematical analysis|matematičkoj analizi]], zato što se mnoge klasične i važne teoreme analize 19. veka, kao što je [[extreme value theorem|teorema ekstremne vrednosti]], lako generalizuju u ovoj situaciji. Tipičnu primenu pruža [[Arzelà–Ascoli theorem|Arcela-Askolijeva teorema]] ili [[Peano existence theorem|Peanova teorema postojanja]], prema kojoj je moguće izvesti zaključak o postojanju funkcije s nekim traženim svojstvima kao ograničavajući slučaj date elementarnije konstrukcije.
== Literatura ==
{{refbegin|30em}}
* {{citation |last1last=Alexandrov |first1first=Pavel |authorlink1authorlink=Pavel Alexandrov |last2=Urysohn |first2=Pavel |authorlink2=Pavel Urysohn |title=Mémoire sur les espaces topologiques compacts |journal=Koninklijke Nederlandse Akademie van Wetenschappen te Amsterdam, Proceedings of the section of mathematical sciences |volume=14 |year=1929}}.
* {{citation |last1last=Arkhangel'skii |first1first=A.V. |last2=Fedorchuk |first2=V.V. |contribution=The basic concepts and constructions of general topology |editor1=Arkhangel'skii, A.V. |editor2=Pontrjagin, L.S. |title=General topology I |publisher=Springer |year=1990 |isbn=978-0-387-18178-3 |series=Encyclopedia of the Mathematical Sciences |volume=17}}.
* {{springer|id=C/c023530|title=Compact space|first=A.V.|last=Arkhangel'skii}}.
* {{citation |first=Bernard |last=Bolzano |authorlink=Bernard Bolzano |title=Rein analytischer Beweis des Lehrsatzes, dass zwischen je zwey Werthen, die ein entgegengesetzes Resultat gewähren, wenigstens eine reele Wurzel der Gleichung liege |year=1817 |url=https://books.google.com/?id=EoW4AAAAIAAJ&dq=%22Rein%20analytischer%20Beweis%20des%20Lehrsatzes%22&pg=PA2-IA3#v=onepage&q= |publisher=Wilhelm Engelmann}} (''Purely analytic proof of the theorem that between any two values which give results of opposite sign, there lies at least one real root of the equation'').
* {{citation |last=Borel |first=Émile |authorlink=Émile Borel |title=Sur quelques points de la théorie des fonctions |journal=[[Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure]]|series= 3 |volume=12 |year=1895 |pages=9–559-55 |url=http://www.numdam.org/numdam-bin/item?id=ASENS_1895_3_12__9_0 |jfm=26.0429.03 }}
* {{Citation | last1last=Boyer | first1first=Carl B. | author1author-link=Carl Benjamin Boyer | title=The history of the calculus and its conceptual development | publisher=Dover Publications | location=New York | mr=0124178 | year=1959}}.
* {{citation |first=Cesare |last=Arzelà |authorlink=Cesare Arzelà |title=Sulle funzioni di linee |journal=Mem. Accad. Sci. Ist. Bologna Cl. Sci. Fis. Mat. |volume=5 |issue=5 |pages=55–7455-74 |year=1895}}.
* {{citation |first=Cesare |last=Arzelà |authorlink=Cesare Arzelà |title=Un'osservazione intorno alle serie di funzioni |journal=Rend. Dell' Accad. R. Delle Sci. Dell'Istituto di Bologna |pages=142–159142-159 |year=1882–1883}}.
* {{citation |first=G. |last=Ascoli |authorlink=Giulio Ascoli |title=Le curve limiti di una varietà data di curve |journal=Atti della R. Accad. Dei Lincei Memorie della Cl. Sci. Fis. Mat. Nat. |volume=18 |issue=3 |pages=521–586521-586 |year=1883–1884}}.
* {{citation | first=Maurice |last=Fréchet |authorlink=Maurice Fréchet |title=Sur quelques points du calcul fonctionnel |year=1906 |journal= [[Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo]] |volume=22 |doi=10.1007/BF03018603 |pages=1–721-72 |issue=1}}.
* {{citation | last1last=Gillman|first1first=Leonard|last2=Jerison|first2=Meyer|title=Rings of continuous functions|publisher=Springer-Verlag|year=1976}}.
* {{citation | last=Kelley |first=John |title=General topology |publisher=Springer-Verlag |year=1955 |series=Graduate Texts in Mathematics |volume=27}}.
* {{Citation | last1last=Kline | first1first=Morris | author1author-link=Morris Kline | title=Mathematical thought from ancient to modern times | year=1972 | publisher=Oxford University Press | edition=3rd | isbn=978-0-19-506136-9 | publication-date=1990}}.
* {{citation |first=Henri |last=Lebesgue |title=Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives |url=https://books.google.com/?id=VfUKAAAAYAAJ&dq=%22Lebesgue%22%20%22Le%C3%A7ons%20sur%20l'int%C3%A9gration%20et%20la%20recherche%20des%20fonctions%20...%22&pg=PA1#v=onepage&q= |year=1904 |publisher=Gauthier-Villars}}.
* {{Citation | last1last=Robinson | first1first=Abraham | author1author-link=Abraham Robinson | title=Non-standard analysis | publisher=Princeton University Press | isbn=978-0-691-04490-3 |mr=0205854 | year=1996}}.
* {{citation |first=C.T. |last= Scarborough |first2= A.H. |last2= Stone |title= Products of nearly compact spaces |journal= Transactions of the American Mathematical Society |volume= 124 |year=1966 |pages= 131–147 |doi=10.2307/1994440 |issue=1 |publisher=Transactions of the American Mathematical Society, Vol. 124, No. 1 |jstor=1994440|url=http://www.ams.org/tran/1966-124-01/S0002-9947-1966-0203679-7/S0002-9947-1966-0203679-7.pdf }}.
* {{Citation | last1last=Steen | first1first=Lynn Arthur | author1author-link=Lynn Arthur Steen | last2=Seebach | first2=J. Arthur Jr. | author2-link=J. Arthur Seebach, Jr. | title=[[Counterexamples in Topology]] | origyear=1978 | publisher=Springer-Verlag | location=Berlin, New York | edition=Dover Publications reprint of 1978 | isbn=978-0-486-68735-3 | mr=507446 | year=1995}}
* {{Citation|last=Willard|first=Stephen|title=General Topology|publisher=Dover publications|year=1970|isbnid=ISBN 0-486-43479-6|pages=}}
{{refend}}
 
== Spoljašnje veze ==
{{Commons categoryCommonscat-lat|Compact space}}
* {{PlanetMath|urlname=countablycompact|title=Countably compact}}
* {{cite arXiv |last=Sundström |first=Manya Raman |eprint=1006.4131v1 |title=A pedagogical history of compactness |class=math.HO |year=2010 |version=}}
 
{{Authority control-lat}}
1.572.075

измена