Kompaktan prostor — разлика између измена

146 бајтова уклоњено ,  пре 1 године
м
Bot: Pretvaranje običnih izvora koristeći ref imena da bi se izbjegli duplikati (pogledaj također FAQ)
м (Разне исправке)
м (Bot: Pretvaranje običnih izvora koristeći ref imena da bi se izbjegli duplikati (pogledaj također FAQ))
[[Датотека:Compact.svg|thumb|upright=1.6|Interval {{math|''A'' {{=}} (−∞, −2]}} nije kompaktan zato što nije ograničen. Interval {{math|''C'' {{=}} (2, 4)}} nije kompktan zato što nije zatvoren. Interval {{math|''B'' {{=}} [0, 1]}} je kompaktan zato što je zatvoren i ograničen.]]
 
U [[mathematics|matematici]], i specifičnije [[general topology|opštoj topologiji]], '''kompaktnost''' je svojstvo koje generalizuje pojam podskupa [[Euclidean space|Euklidovog prostora]] koji je [[closed set|zatvoren]] (da sadrži sve svoje [[limit point|granične tačke]]) i [[bounded set|ograničen]] (onaj kod koga sve njegove tačke leže na datom fiksnom rastojanju jedna od druge). Primeri su [[closed interval|zatvoreni interval]], [[rectangle|četvorougao]], ili konačni set tačaka. Ovaj je pojam definisan za opštije [[topological space|topološke prostore]], nego što je Euklidov prostor na razne načine.<ref name=automatski_generisano1>{{cite book|last=Bartle |first=Robert G. |last2=Sherbert |first2=Donald R. |year=2000|title=Introduction to Real Analysis |url= |edition=3rd |location=New York |publisher=J. Wiley |id=|accessdate=}}</ref><ref name="Fitzpatrick">{{cite book|last=Fitzpatrick |first=Patrick M. |year=2006|title=Advanced Calculus |url= |edition=2nd |location=Belmont, CA |publisher=Thomson Brooks/Cole |id=ISBN 0-534-37603-7 |accessdate=}}</ref>
 
Jedna takva generalizacija je da je topološki prostor [[sequentially compact|''sekvencijalno'' kompaktan]] ako svaki [[infinite sequence|infinitivni niz]] tačaka uzet kao uzorak prostora ima beskonačni [[podniz]] koji konvergira u istu tačku prostora. [[Bolcano-Vajerštrasova teorema]] navodi da je podskup Euklidovog prostora kompaktan u ovom sekvencijalnom smislu ako i samo ako je zatvoren i ograničen.<ref name="Fitzpatrick" /> Stoga, ako se izabere beskonačan broj tačaka u ''zatvorenom'' [[unit interval|jediničnom intervalu]] {{math|[0, 1]}} neke od tih tačaka će biti proizvoljno blizo nekim realnom broju u tom prostoru. Na primer, neki od brojeva {{nowrap|1/2, 4/5, 1/3, 5/6, 1/4, 6/7, &hellip;}} se akumuliraju do 0 (drugi se akumuliraju do 1). Isti skup tačaka se ne bi akumulirao do bilo koje tačke ''otvorenog'' jediničnog intervala {{math|(0, 1)}}; tako da otvoreni jedinični interval nije kompaktan. Sam Euklidov prostor nije kompaktan, jer nije ograničen. Na primer, niz tačaka {{nowrap|0, 1, 2, 3, …}} nije niz koji konvergira u bilo koji realni broj.<ref>{{cite book|lastname=Bartleautomatski_generisano1 |first=Robert G. |last2=Sherbert |first2=Donald R. |year=2000|title=Introduction to Real Analysis |url= |edition=3rd |location=New York |publisher=J. Wiley |id=|accessdate=}}</ref>
 
Osim zatvorenih i ograničenih podskupova Euklidovog prostora, tipični primeri kompaktnih prostora obuhvataju prostore koji se ne sastoje od geometrijskih tačaka već od [[function space|funkcija]]. Termin ''kompaktan'' je uveo u matematiku [[Maurice Fréchet|Moris Freše]] 1904. godine kao destilaciju ovog koncepta. Kompaktnost u ovoj generalnijoj situaciji igra ekstremno važnu ulogu u [[mathematical analysis|matematičkoj analizi]], zato što se mnoge klasične i važne teoreme analize 19. veka, kao što je [[extreme value theorem|teorema ekstremne vrednosti]], lako generalizuju u ovoj situaciji. Tipičnu primenu pruža [[Arzelà–Ascoli theorem|Arcela-Askolijeva teorema]] ili [[Peano existence theorem|Peanova teorema postojanja]], prema kojoj je moguće izvesti zaključak o postojanju funkcije s nekim traženim svojstvima kao ograničavajući slučaj date elementarnije konstrukcije.
1.572.075

измена