Википедија

Лапласова једначина — разлика између измена

Интерактиван преглед историје
← Старија изменаНовија измена →
Садржај обрисан Садржај додат
ВизуелноВикитекст
м Бот: обликујем ISBN; козметичке измене
Ред 1:
'''Лапласова једначина'''' је елиптичка парцијална диференцијална једначина другога реда облика:
: <math>\qquad \nabla^2 \varphi = 0</math>
Решења Лапласове једначине су хармоничке функције. Лапласова једначина је значајна у [[математика|математици]], [[електромагнетизам|електромагнетизму]], [[астрономија|астрономији]] и [[динамика флуида|динамици флуида]].
 
== Дефиниција ==
У три демензије Лапласива једначина може да се прикаже у различитим координатним системима.
У [[Декартов координатни систем|картезијевом координатном систему]] је облика:
: <math> \Delta f =
Ред 20:
: <math> \Delta f = {1 \over \rho^2}{\partial \over \partial \rho}\!\left(\rho^2 {\partial f \over \partial \rho}\right)
\!+\!{1 \over \rho^2\!\sin\theta}{\partial \over \partial \theta}\!\left(\sin\theta {\partial f \over \partial \theta}\right)
\!+\!{1 \over \rho^2\!\sin^2\theta}{\partial^2 f \over \partial \varphi^2} =0.</math>
 
У закривљеном координатном систему је:
: <math> \Delta f = {\partial \over \partial \xi^i}\!\left({\partial f \over \partial \xi^k}g^{ki}\right)
\!+\!{\partial f \over \partial \xi^j}g^{jm}\Gamma^n_{mn} =0,</math>
илиr
: <math> \Delta f = {1 \over \sqrt{|g|}}{\partial \over \partial \xi^i}\!\left(\sqrt{|g|}g^{ij}{\partial f \over \partial \xi^j}\right) =0,
\quad (g=\mathrm{det}\{g_{ij}\}).
</math>
== Дводимензионални систем ==
У [[поларни координатни систем|поларном координатном дводимензионалном систему]] је облика:
: <math>\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r} \left(r\frac{\partial u}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2}\frac{\partial ^2 u}{\partial \phi ^2} = 0</math>
Ред 36:
: <math>\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0</math>
 
== Гринова функција ==
Лапласова једначина се често решава уз помоћ Гринове функције и [[Гринова теорема|Гринова теорема]]:
:<math>\int_V (\phi\nabla^2\psi-\psi\nabla^2\phi) dV=\int_S (\phi\nabla\psi-\psi\nabla\phi)\cdot d\hat\sigma.</math>
Дефиниција [[Гринова функција|Гринове функције]] је:
:<math>\nabla^2 G(x,x')=\delta(x-x').</math>
Уврстимо у Гринов теорем <math>\psi=G</math> па добијамо:
:<math>
\begin{align}
Ред 56:
:<math>G(x,x')=\dfrac{1}{|x-x'|}.</math>
 
== Литература ==
* -{Sommerfeld A, Partial Differential Equations in Physics, New York: Academic Press (1949)}-
* -{Korn GA and Korn TM. (1961) ''Mathematical Handbook for Scientists and Engineers'', McGraw-Hill.}-
* -{Morse PM, Feshbach H (1953). Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-043316-X8}-
* [http://mathworld.wolfram.com/LaplacesEquation.html Лапласова једначина]
 
 
[[Категорија:Диференцијалне једначине]]
Преузето из „https://sr.wikipedia.org/wiki/Лапласова_једначина”