Случајна променљива — разлика између измена
Садржај обрисан Садржај додат
м Разне исправке |
. |
||
Ред 1:
[[File:Random Variable as a Function-en.svg|thumb|Овај графикон показује како је случајна променљива функција свих могућих исхода до нумеричких величина и како се она користи за дефинисање функције вероватноће.]]
'''Случајна променљива''', ''рандомна променљива'', ''рандомни квантитет'' или ''стокастичка променљива'' је [[Функција (математика)|функција]] дефинисана на [[Простор елементарних исхода|ансамблу могућих исхода]] [[Случајни процес|случајног процеса]].<ref>{{Cite book|last=Blitzstein|first=Joe|last2=Hwang|first2=Jessica|title=Introduction to Probability|year=2014|publisher=CRC Press|isbn=9781466575592|pages=}}</ref> Формални математички третман рандомне променљиве је тема [[Теорија вероватноће|теорије вероватноће]]. У том контексту, случајна променљива се схвата као [[measurable function|мерљива функција]] дефинисана на [[Простор елементарних исхода|простору елементарних исхода]] чији исходи су типично реални бројеви.<ref name="UCSB">{{cite web | title = Economics 245A – Introduction to Measure Theory | url = http://econ.ucsb.edu/~doug/245a/Lectures/Measure%20Theory.pdf | last = Steigerwald | first = Douglas G. | publisher = University of California, Santa Barbara | accessdate = April 26, 2013}}</ref>
Постоје два основна типа случајних променљивих: дискретне и непрекидне. [[Дискретна расподела вероватноће|Дискретне]] случајне променљиве пресликавају исходе из пребројивог скупа исхода у скуп вероватноћа (већих од или једнаких 0). [[Непрекидна расподела вероватноће|Непрекидне]] случајне променљиве пресликавају непребројиви скуп исхода у функцију дефинисану на неком бесконачном домену (обично на [[реалан број|скупу реалних бројева]]). Најчешће је вероватноћа сваког појединачног исхода непрекидне случајне променљиве 0, док је вероватноћа да променљива узме вредност из неког интервала позитивна. Могућа је и комбинација ова два типа.
Случајна променљива може имати векторску вредност <math>\scriptstyle \R^n</math> или <math>\scriptstyle \Complex^n</math>, и у том случају говоримо о вектору исхода: <math>\ \scriptstyle\ X\ :\ \omega\ \mapsto\ X(\omega)\in\R^n</math> или <math>\scriptstyle\ X\ :\ \omega\ \mapsto\ X(\omega)\in \Complex^n</math>. Ако случајна променљива узима вредности из скупа функција дефинисаних у временском домену (на пример, шум радио-сигнала, секвенца лото бројева) говоримо о [[Случајни процес|стохастичком процесу]].
[[Игре на срећу]] су блиско повезане са случајним исходима (резултат бацања коцке, исход бацања новчића, окретања рулета...). Однос између случајног исхода и добитка у играма на срећу се заснива на функцијама теорије вероватноће. Случајним променљивима се придружује величина ([[Метрика (математика)|метрика]]).
Ред 13:
:<math>\mathbb{P}_X(B) = \mathbb{P}\left(X^{-1}(B)\right) = \mathbb{P}\left(X\in B\right).</math>
{{Цитат| Функција <math>\ \scriptstyle \mathbb{P}_X</math> се назива [[Расподела вероватноће|расподелом вероватноће]] случајне променљиве <math>\ \scriptstyle X\ </math>.}}
== Дефиниција ==
''Случајна променљива'' <math>X\colon \Omega \to E</math> је [[measurable function|мерљива функција]] из скупа могућих [[outcome (probability)|исхода]] <math> \Omega </math> до [[measurable space|мерљивог простора]] <math> E</math>. Техничка аксиоматска дефиниција захтева да <math>\Omega</math> буде простор могућих исхода [[probability space|троструке вероватноће]] (погледајте [[#Measure-theoretic definition|теоретску дефиницију мере]]). Обично <math>X</math> има реалну вредност (i.e. <math>E=\mathbb{R}</math>).
Вероватноћа да <math>X</math> поприма вредност у мерљивом скупу <math>S\subseteq E</math> се записује као:
: <math>\operatorname {Pr} (X \in S) = P(\{\omega\in \Omega|X(\omega) \in S\})</math>,
где је <math>P</math> [[probability measure|мера вероватноће]] унутар <math>\Omega</math>.
=== Стандардни случај ===
У многим случајевима, <math>E =</math> [[Real number|<math>\mathbb{R}</math>]]. У неком контекстима, термин ''[[random element|рандомни елемент]]'' (погледајте [[#Extensions|наставке]]) се користи за означавање случајне променљиве која није овог облика.
Кад је [[Image (mathematics)|имиџ]] (или опсег) од <math>X</math> коначан или [[пребројив скуп]], случајна промељива се назива '''дискретном случајном промељивом'''<ref name="Yates">{{cite book | last = Yates | first = Daniel S. | last2 = Moore | first2 = David S | last3 = Starnes | first3 = Daren S. | year = 2003 | title = The Practice of Statistics | edition = 2nd | publisher = [[W. H. Freeman and Company|Freeman]] | location = New York | url = http://bcs.whfreeman.com/yates2e/ | isbn = 978-0-7167-4773-4 | deadurl = yes | archiveurl = https://web.archive.org/web/20050209001108/http://bcs.whfreeman.com/yates2e/ | archivedate = 2005-02-09 | df = }}</ref>{{rp|399}} а њена дистрибуција се може описати помоћу [[probability mass function|функције вероватноће]] која приписује вероватноћу свакој вредности у имиџу од <math>X</math>. Ако је имиџ непребројиво бесконачан онда се <math>X</math> назива '''континуираном случајном промељивом'''. У специјалном случају да је она [[Absolute continuity|апсолутно континуирана]], њена расподела се описује [[Расподела вероватноће|функцијом густине вероватноће]], која приписује вероватноће интервалима; конкретно, свака појединачна тачка мора нужно имати нулту вероватноћу за апсолутно непрекидну случајну променљиву. Нису све континуиране случајне променљиве апсолутно континуиране,<ref>{{cite book|author1=L. Castañeda |author2=V. Arunachalam |author3=S. Dharmaraja |last-author-amp=yes |title = Introduction to Probability and Stochastic Processes with Applications | year = 2012 | publisher= Wiley | page = 67 | url=https://books.google.com/books?id=zxXRn-Qmtk8C&pg=PA67 }}</ref> на пример [[mixture distribution|дистрибуција смеше]]. Такве случајне променљиве се не могу описати густином вероватноће или функцијом вероватноће.
Свака случајна променљива може се описати њеном [[Функција расподеле|кумулативном расподелом вероватноће]], која описује вероватноћу да ће случајна промељива бити мања или једнака од одређене вредности.
== Референце ==
{{reflist|
== Литература ==
| |||