Неједнакост — разлика између измена
Садржај обрисан Садржај додат
Спашавам 1 извора и означавам 1 мртвим. #IABot (v2.0beta9) |
. |
||
Ред 93:
|<math>Q = \sqrt{\frac{a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2}{n}}</math> || ([[средња квадратна вредност|квадратна средина]]).
|}
=== Неједнакости између геометријске и хармонијске средине ===
Нека је -{a}- било која -{n}--торка позитивних реалних бројева. Тада је
<math>G_n(a) \ge H_n(a)</math>
Доказ
<math>\sqrt[n]{a_1a_2...a_n}\ge \frac{n}{\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_n}}</math>
Применом аритметичко геометријске неједнакости на бројеве <math>\frac{1}{a_1}</math>, <math>\frac{1}{a_2}</math>...<math>\frac{1}{a_n}</math> добија се
<math>\sqrt[n]{\frac{1}{a_1}\frac{1}{a_2}...\frac{1}{a_n}} \le\frac{\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_n}}{n}</math>
<math>\sqrt[n]{(a_1a_2...a_n)^{-1}} \le\frac{\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_n}}{n}</math>
<math>\sqrt[n]{(a_1a_2...a_n)^{-1}} \le (\frac{n}{\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_n}})^{-1}</math>
<math>(a_1a_2...a_n)^{1/n}\ge \frac{n}{\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_n}}</math>
Једнакост вреди ако и само ако је <math>\frac{1}{a_1}=...=\frac{1}{a_n}</math>
=== Неједнакост између аритметичке и квадратне средине===
Нека је -{a}- било која -{n}--торка позитивних реалних бројева. Тада је
<math>A_n(a)\le K_n(a)</math>
Доказ
<math>
(a_1+a_2+...+a_n)^2=a_1^2+a_2^2+..+a_n^2+2a-1a-2+2a_2a_3+...+a_{n-1}a_n</math>
зна се да је
<math>a_1^2+a_2^2\ge 2a_1a_2</math> за <math>\forall a_1,a_2 \in R</math>
<math>(a_1+a_2+...+a_n)^2 \le (a_1^2+a_2^2+..+a_n^2)+ (a_1^2+a_2^2)+..+(a_{n-1}^2+a_n^2)\le n(a_1^2+a_2^2+..+a_n^2)</math>
Изрази на обе стране су позитивни, добијена неједнакост се може кореновати чиме се долази до
<math>a_1+a_2+...+a_n \le \sqrt{n(a_1^2+a_2^2+..+a_n^2)}</math>
<math>\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n} \le \sqrt{\frac{a_1^2+a_2^2+..+a_n^2)}{n}}</math>
Једнакост вреди ако и само ако је <math>a_1=a_2=...=a_n</math>
== Неједнакости степена ==
Линија 177 ⟶ 223:
== Литература ==
{{refbegin|
* {{Cite book |ref= harv|author=Hardy, G.
* {{Cite book |ref= harv|author=Beckenbach, E.F.
* {{Cite book |ref= harv|last= Drachman|first= Byron C., Cloud, Michael J.| title=Inequalities: With Applications to Engineering| publisher=Springer-Verlag| year=1998|isbn=978-0-387-98404-9}}
* {{cite paper|title="Quickie" inequalities|last= Klamkin|first=Murray S.|url=http://www.pims.math.ca/pi/issue7/page26-29.pdf|format=PDF|work=Math Strategies|archiveurl=https://web.archive.org/web/20040128070831/http://www.pims.math.ca/pi/issue7/page26-29.pdf|archivedate = 28. 1. 2004.}}
* {{cite web|title=Mathematical Problem Solving|url=http://www.math.kth.se/math/TOPS/index.html|author=Harold Shapiro|date=missingdate|publisher=Kungliga Tekniska högskolan|work=The Old Problem Seminar}}▼
* {{cite web|title=3rd USAMO|url=http://www.kalva.demon.co.uk/usa/usa74.html|access-date=02. 07. 2011|archive-url=https://web.archive.org/web/20080203070350/http://www.kalva.demon.co.uk/usa/usa74.html|archive-date=03. 02. 2008|dead-url=yes|df=}}
* {{Cite book |ref= harv|last=Ehrgott|first=Matthias| title=Multicriteria Optimization| publisher=Springer-Berlin| year=2005|isbn=978-3-540-21398-7}}
* {{Citation | last1=Grinshpan | first1=A. Z. | title=General inequalities, consequences, and applications | doi=10.1016/j.aam.2004.05.001 | year=2005 |
journal=Advances in Applied Mathematics | volume=34 | issue=1 | pages=71–100 }}
* {{cite web |title=Introduction to Inequalities |url=http://www.mediafire.com/?1mw1tkgozzu |author=Arthur Lohwater |year=1982 |publisher=Online e-book in PDF format}}
▲* {{cite web |title=Mathematical Problem Solving |url=http://www.math.kth.se/math/TOPS/index.html |author=Harold Shapiro |date=
* {{cite book
| last = Pachpatte
| first = B. G.
| title = Mathematical Inequalities
| publisher = [[Elsevier]]
| series = North-Holland Mathematical Library
| volume = 67
| edition = first
| year = 2005
| location = Amsterdam, The Netherlands
| isbn = 0-444-51795-2
| issn = 0924-6509
| mr = 2147066
| zbl = 1091.26008}}
* {{cite book | last=Steele | first=J. Michael | authorlink=J. Michael Steele | title=The Cauchy-Schwarz Master Class: An Introduction to the Art of Mathematical Inequalities | publisher=Cambridge University Press | year=2004 | isbn=978-0-521-54677-5 | url=http://www-stat.wharton.upenn.edu/~steele/Publications/Books/CSMC/CSMC_index.html}}
{{refend}}
== Спољашње везе ==
{{commons category|Inequalities (mathematics)}}
{{портал|Математика}}
* [http://www.mathwarehouse.com/algebra/linear_equation/interactive-linear-inequality.php интерактивне линеарне неједнакости и грфикони] на www.mathwarehouse.com
Линија 194 ⟶ 258:
* [https://web.archive.org/web/20110712013029/http://webgraphing.com/inequality_1d.jsp WebGraphing.com] - калкулатор за цртање графика неједнакости.
* [http://demonstrations.wolfram.com/GraphOfInequalities/ График неједнакости] од Еда Пега, [[Wolfram Demonstrations Project]].
* {{springer|title=Inequality|id=p/i050790}}
* [http://www.artofproblemsolving.com/wiki/index.php/Inequality AoPS Wiki entry about Inequalities]
{{Authority control}}
[[Категорија:Неједнакости|*]]
| |||