Хамилтонијан — разлика између измена
Садржај обрисан Садржај додат
м Bot: Migrating 3 interwiki links, now provided by Wikidata on d:q2374360 (translate me) |
Нема описа измене |
||
Ред 1:
[[Датотека:Foucault pendulum animated.gif|мини|Први систем описан Хамилтоновим формализмом било је [[математичко клатно]].]]
'''Хамилтонијан''' у [[Физика|физици]] је [[функција]] или [[Операција (математика)|оператор]], у зависности од тога да ли се користи у контексту [[Класична механика|класичне]] или [[Квантна механика|квантне механике]], који је од централног значаја за опис [[Време|временске еволуције]] у [[Физика|физици]].
Хамилтонијан је у [[Физика|физику]] уведен када је увиђено да је [[Њутнови закони|Њутнове законе кретања]] лакше представити преко неке [[Одржана величина|одржане величине]] у том кретању. Једна од често одржаних величина при кретању је [[енергија]].<ref>{{Cite web|url=http://math.mit.edu/classes/18.013A/HTML/chapter16/section03.html|title=16.3 The Hamiltonian|website=math.mit.edu|access-date=2019-10-14}}</ref> Хамилтонијан је функција која има значење [[Енергија|енергије]]. Хамилтонијан <math>H(q_i, p_i, t)</math> изражава се преко [[Генералисане координате|генералисаних координата]] (<math>q_i</math>), генералисаних импулса (<math>p_i
</math>) и [[време|времена]] (<math>t</math>).
Хамилтонов формализам преко Хамилтонијана користи се у великом броју области у [[Физика|физици]] у проблемима при којима је дисипација занемарљива, као што су [[квантна механика]], [[електромагнетизам]], [[статистичка механика]], [[квантна теорија поља]], итд.<ref>{{Cite web|url=https://www.sciencedirect.com/topics/chemistry/hamiltonian|title=Hamiltonian - an overview {{!}} ScienceDirect Topics|website=www.sciencedirect.com|access-date=2019-10-14}}</ref>
== Хамилтонов формализам ==
[[Mehaničko kretanje|Механичко кретање]] честица се може објаснити коришћењем [[Њутнови закони|Њутнових закона]] и решавањем [[Диференцијална једначина|диференцијалних једначина]] које укључују све [[Сила|силе]] које се налазе у систему, добијају се закони кретања тела. Некад је проблеме кретања немогуће решити аналитички, али Њутнов приступ решавању увек даје барем нумеричко решење за проблеме кретања тела. Њутнов приступ се и данас се користи у многим применама, као у [[Инжењерство|инжењерству]], [[Машинство|машинству]], итд.
Током [[18. век|18-ог]] и [[19. век|19-ог]] века, [[Леонард Ојлер|Ојлер]], [[Жозеф Луј Лагранж|Лагранж]], [[Вилијам Роуан Хамилтон|Хамилтон]], [[Карл Густав Јакоб Јакоби|Јакоби]] и многи други су [[Њутнови закони|Њутнове законе]] представили на други начин, без разматрања [[сила]], а посматрањем [[Физичка величина|физичких величина]] које се одржавају у кретању (тзв. [[Константа|константе]] кретања). Хамилтонијан је у физику уведен [[1833|1833. године]] као функција [[Генералисане координате|генералисаних координата]] (<math>q_i</math>), генералисаних импулса (<math>p_i
</math>) и [[време|времена]] (<math>t</math>) која има значење [[Енергија|енергије]]. Слично је [[Лагранжијан]] уведен [[1788|1788. године]] као функција [[Генералисане координате|генералисаних координата]] (<math>q_i</math>), [[генералисана брзина|генералисаних брзина]] (<math>\dot{q}_i</math>) и [[време|времена]] (<math>t</math>).
Предност Лагранжевог формализма у односу на Њутнов формализам је што разматрајући симетрије које већ постоје у систему (разматрањем константи кретања), једначине кретања у њима имају једноставнији облик. Облик једначина кретања у новим формализмима је посебно једноставнији у системима у којима постоје ограничења на положаје и брзине. Данашња [[Класична механика|класична теоријска механика]] је формулисана у Лагранжевом и Хамилтоновом формализму. Хамилтонов и Лагранжев формализам су еквивалентни у смислу да постоји трансформација ([[Лежандрова трансформација]]) помоћу које се прелази из једног у други.
Посебни значај Хамилтоновог формализма и разлог зашто се и додатно и он користи у класичној механици (иако је еквивалентан са Лагранжевим формализмом у којем и саме једначине кретања имају једноставнији облик од облика у Хамилтоновом формализму), лежи у томе што се овим приступом може формулисати [[квантна механика]]. Тиме се при формулацији и разумевању [[Квантна механика|квантне механике]] може направити аналогија са [[Класична механика|класичном механиком]].<ref>{{Cite web|url=http://qtpcenter.ff.bg.ac.rs/voja/TM0614.pdf|title=Lagranževa i Hamiltonova mehanika|last=Voja Radanović|first=|date=|website=|archive-url=|archive-date=|dead-url=|access-date=}}</ref>
== Хамилтонијан у класичној физици ==
У [[Класична механика|класичној физици]] Хамилтонијан је дефинисан као [[Лежандрова трансформација]] [[лагранжијан|
</math>) уместо [[брзина]], потребно је задатак преформулисати преко нових променљивих. Трансформација којом се зависност од генералисаних [[брзина]] смењује зависношћу од генералисаних [[Импулс|импулса]] је [[Лежандрова трансформација]]. Хамилтонијан се дефинише као:
<math>H(q_i, p_i, t)=\sum_{k=1}^{n}p_k \dot{q}_k-L(q_i, \dot{q}_i, t)</math>
, где <math>i=1...n</math>, -{n}- је број [[степени слободе]] система,
<math>p_i=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}</math>
, где је <math>p_i(q_i, \dot{q}_i, t)</math>
У случају када је [[кинетичка енергија]] система хомогена квадратна функција генералисаних брзина, Хамилтонијан је једнак укупној [[Енергија|енергији]] система. Ово је чест случај и Хамилтонијан се често поистовећује са укупном енергијом система.
=== Хамилтонове једначине ===
[[Хамилтонове једначине|Хамилтонове]] или канонске једначине кретања су једначине кретања изражене у Хамилтовом формализму:
<math>\dot{q}_i=\frac{\partial H}{\partial p_i}</math>
Линија 14 ⟶ 38:
<math>\dot{p}_i=-\frac{\partial H}{\partial q_i}+Q_i^{nepot}</math>
<math>\frac{\partial L}{\partial t}=-\frac{\partial H}{\partial t}</math>
, где <math>Q_i^{nepot}</math> представља [[непотенцијалне генералисане силе]]. Ове једначине пружају неколико погодности, међу којима су: импулси и координате фигуришу симетрично у једначинама и једначине су диференцијалне једначине првог реда.▼
▲, где <math>Q_i^{nepot}</math> представља [[непотенцијалне генералисане силе]]. Ове једначине пружају неколико погодности, међу којима су
<math>p_i(t = 0) = p_{0i}, \quad q_i(t = 0) = q_{0i}</math>
== Хамилтонијан у квантној механици ==
У квантној механици хамилтонијан је хермитски оператор и придружен је опсервабли енергије. Временску еволуцију квантног система диктира хамилтонијан преко [[
<math>i\hbar\frac{\partial |\psi\rangle}{\partial t}=\hat{H}|\psi\rangle</math>
Линија 28 ⟶ 54:
Како хамилтонијан представља енергију, његове својствене вредности представљају могуће енергије које систем може да поседује. Свака опсервабла чији оператор комутира са хамилтонијаном представља одржану величину.
== Референце ==
{{Извори|30em}}
[[Категорија:Математичке једначине]]
[[Категорија:Класична механика]]
| |||