Тродимензионални простор — разлика између измена

Садржај обрисан Садржај додат
.
Ред 11:
{{main|Координате}}
 
InУ mathematicsматематици, [[analyticаналитичка geometryгеометрија]] (alsoтакође calledпозната Cartesianкао geometryкатезијанска геометрија) describesописује everyсваку pointтачку inу three-dimensionalтродимензионалном spaceпростору byпомоћу meansтри ofкоординате. threeДате coordinates.су Threeтри [[coordinate axisКоординате|coordinateкоординатне axesосе]], areсвака given, eachод perpendicularкојиј toје theнормална otherна twoдруге atдве. theОне се пресецају у [[OriginКоординатни (mathematics)почетак|originкоординатном почетку]], the point at which they cross. Оне Theyсе areобично usually labeledобележавају {{math|''x'', ''y''}}, andи {{math|''z''}}. RelativeУ toодносу theseна axesове осе, theположај positionбило ofкоје anyтачке pointу inтродимензионалном three-dimensionalпростору spaceдат isје givenуређеним by an ordered triple ofтриплетом [[real number|реалних бројева]]s, eachпри numberчему givingсваки theброј distanceдаје ofудаљеност thatте pointтачке fromод theкоординатног [[Originпочетка, (mathematics)|origin]]мерену measuredдуж alongдате the given axisосе, which is equal toкоја theје distanceједнака ofудаљености thatте pointтачка fromод theравни planeкоја determinedје byодређена theса otherдруге twoдве axesосе.<ref name="Hughes">{{cite book|last1=Hughes-Hallett|first1=Deborah|last2=McCallum|first2=William G.|last3=Gleason|first3=Andrew M.|title=Calculus : Single and Multivariable|date=2013|publisher=John wiley|isbn=978-0470-88861-2|edition=6}}</ref>
 
Остале популарне методе описа локације тачке у тродимензионалном простору укључују [[Цилиндрични координатни систем|цилиндричне координате]] и [[Сферни координатни систем|сферне координате]], мада постоји неограничен број могућих метода. Погледајте [[Еуклидски простор]].
Other popular methods of describing the location of a point in three-dimensional space include [[cylindrical coordinates]] and [[spherical coordinates]], though there are an infinite number of possible methods. See [[Euclidean space]].
 
Горе поменути системи су илустровани на следећим сликама.
Below are images of the above-mentioned systems.
<gallery widths="250px" heights="180px">
 
<gallery>
Image:Coord XYZ.svg|[[Декартов координатни систем]]
Image:Cylindrical Coordinates.svg|[[Цилиндрични координатни систем]]
Линија 25 ⟶ 24:
=== Линије и равни ===
 
Две различите тачке увек одређују (праву) [[Права (линија)|линију]]. Три различите тачке су или [[Колинеарност|колинеарне]] или одређују јединствену раван. Четири различите тачке могу бити колинеарне, [[Копланарност|копланарне]] или одредиђивати цео простор.
Two distinct points always determine a (straight) [[Line (geometry)|line]]. Three distinct points are either [[collinear]] or determine a unique plane. Four distinct points can either be collinear, [[coplanar]] or determine the entire space.
 
Двије различите линије могу се пресецати, бити [[Паралелност (геометрија)|паралелне]] или [[Skew lines|мимоилазеће]]. Две паралелне линије, или [[Line–line intersection|две пресецајуће линије]], леже у јединственој равни, док се мимоилазеће линије не пресецају и не леже у заједничкој равни.
Two distinct lines can either intersect, be [[Parallel line|parallel]] or be [[Skew lines|skew]]. Two parallel lines, or [[two intersecting lines]], lie in a unique plane, so skew lines are lines that do not meet and do not lie in a common plane.
 
Две различите равни се могу састати у заједничкој линији или су паралелне (не пресецају се). Три различите равни, од којих ниједан пар није паралелан, могу се састати у заједничкој линији, састати се у јединственој заједничкој тачки или немају заједничку тачку. У последњем случају, три линије пресека сваког пара равни су међусобно паралелне.
Two distinct planes can either meet in a common line or are parallel (do not meet). Three distinct planes, no pair of which are parallel, can either meet in a common line, meet in a unique common point or have no point in common. In the last case, the three lines of intersection of each pair of planes are mutually parallel.
 
Линија може да лежи у датој равни, пресеца дату раван у јединственој тачки или да буде паралелна са равном. У последњем случају постоје линије у равни које су паралелне са датом линијом.
A line can lie in a given plane, intersect that plane in a unique point or be parallel to the plane. In the last case, there will be lines in the plane that are parallel to the given line.
 
[[Хиперраван]] је подпростор са једном димензијом мање од димензије целог простора. Хиперравни тродимензионалног простора су дводимензионални подпростори, односно равни. У смислу картезијанских координата, тачке хиперравни задовољавају једну [[Линеарна једначина|линеарну једначину]], те су равни у том 3-простору описане линеарним једначинама. Линија се може описати паром независних линеарних једначина, а свака представља раван, које имају ову линију као заједнички пресек.
A [[hyperplane]] is a subspace of one dimension less than the dimension of the full space. The hyperplanes of a three-dimensional space are the two-dimensional subspaces, that is, the planes. In terms of cartesian coordinates, the points of a hyperplane satisfy a single [[linear equation]], so planes in this 3-space are described by linear equations. A line can be described by a pair of independent linear equations, each representing a plane having this line as a common intersection.
 
[[Varignon's theorem|Варигнонова теорема]] statesнаводи thatда theсредње midpointsтачке ofбило anyког quadrilateralчетвороугла inу -{}-<sup>3</sup> form aформирају [[parallelogramпаралелограм]], andи so,стога areсу coplanarкопланарне.
 
=== Сфере и кугле ===
{{main|Сфера}}
[[File:Sphere wireframe 10deg 6r.svg|right|thumb|A [[3D projection#Perspective projection|perspectiveПерспективна projectionпројекција]] of a sphereсфере ontoу twoдве dimensionsдимензије]]
 
[[Сфера]] у торидимензионалном простору (такође звана '''2-сфера''' јер је она дводимензионални објекат) састоји се од сета свих тачака у тродимензионалном простору на фиксном растојању {{math|''r''}} од централне тачке {{mvar|P}}. Чврста материја затворена сфером назива се [[Лопта (геометријско тело)|''лопта'']] (или тачније 3-''кугла''). Запремина сфере је дата са
A [[sphere]] in 3-space (also called a '''2-sphere''' because it is a 2-dimensional object) consists of the set of all points in 3-space at a fixed distance {{math|''r''}} from a central point {{mvar|P}}. The solid enclosed by the sphere is called a [[Ball (mathematics)|'''ball''']] (or, more precisely a '''3-ball'''). The volume of the ball is given by
 
:<math>V = \frac{4}{3}\pi r^{3}</math>.
 
AnotherЈедан typeдруги ofтип sphereсфере arisesнастаје from aиз 4-ballлопте, whose three-dimensionalчија surfaceтродимензионална isповршина theје '''3-sphereсфера''': pointsтачке equidistantна toједнакој theудаљености originод ofкоординатног theпочетка euclideanеуклидовог spaceпростора {{math|ℝ<sup>4</sup>}}. IfАко aтачка pointима has coordinatesкоординате, {{math|''P''(''x'', ''y'', ''z'', ''w'')}}, thenонда {{math|1=''x''<sup>2</sup> + ''y''<sup>2</sup> + ''z''<sup>2</sup> + ''w''<sup>2</sup> = 1}} characterizes thoseкарактерише pointsте onтачке theна unitјединици 3-sphereсфере centeredцентриране atна theкоординатном originпочетку.
 
=== Политопи ===
{{main|Полиедар}}
 
In three dimensions, there are nine regular polytopes: the five convex [[Platonic solid]]s and the four nonconvex [[Kepler-Poinsot polyhedra]].
У три димензије, постоји девет правилних политопа: пет конвексних [[Правилни полиедри|Платонских полиедара]] и четири неконвексна [[Kepler-Poinsot polyhedra|Кеплер-Пуансова полиедра]].
 
{| class=wikitable
|+ Регуларни полипоти у три димензије
|+ Regular polytopes in three dimensions
|- align=center
! Класа
!Class
!colspan=5|[[Правилни полиедри|Платонских полиедри]]
!colspan=5|[[Platonic solid]]s
!colspan=4|[[Kepler-Poinsot polyhedra|Кеплер-Пуансови полиедри]]
|-
![[Polyhedral symmetrygroup|SymmetryСиметрија]]
![[Tetrahedral symmetry|-{T<sub>d</sub>}-]]
!colspan=2|[[Octahedral symmetry|-{O<sub>h</sub>}-]]
!colspan=6|[[Icosahedral symmetry|-{I<sub>h</sub>}-]]
|-
![[Coxeter group|Коксетерова група]]
! -{A}-<sub>3</sub>, [3,3]
!colspan=2| -{B}-<sub>3</sub>, [4,3]
!colspan=6| -{H}-<sub>3</sub>, [5,3]
|- align=center
![[Symmetry order|OrderДруги]]
|24
|colspan=2|48
|colspan=6|120
|- align=center
![[Regular polyhedron|RegularРегуларни<br>polyhedronполиедар]]
|[[File:Tetrahedron.svg|50px]]<br>[[Tetrahedron|{3,3}]]
|[[File:Hexahedron.svg|50px]]<br>[[Cube|{4,3}]]