Подгрупа (математика) — разлика између измена

нема резимеа измене
'''Подгрупа''' [[група (математика)|групе]] ''-{<math>G}-''</math> је непразан скуп ''-{<math>H}-''</math> који је сам група у односу на [[бинарна операција|бинарну операцију]] * дефинисану у групи. Другим речима, ''-{<math>H}-''</math> је подгрупа ''-{<math>G}-''</math> ако је рестрикција * на ''-{<math>H}-''</math> операција групе на ''-{<math>H}-''</math>. Ознака подгрупе ''-{<math>H}-''</math> групе ''-{<math>G}-''</math> је ''-{Н < math>H<G}-''</math>.
 
Дефинисана преко [[хомоморфизам|хомоморфизма]], ''-{<math>H}-''</math> је подгрупа групе ''-{<math>G}-''</math> ако и само ако је ''-{<math>H}-''</math> подскуп од ''-{<math>G}-''</math> и постоји инклузиони хомоморфизам из ''-{<math>H}-''</math> у ''-{<math>G}-''</math>, односно -{<math>i(''a'') = ''a''}-</math> за свако ''-{<math>a}-''</math>.
 
''Права погрупа'' групе ''-{<math>G}-''</math> је подгрупа ''-{<math>H}-''</math>, која је [[подскуп|прави подскуп]] од ''-{<math>G}-''</math> (т. ј. -{''<math>H'' &ne;\neq ''G''}-</math>). ''Тривијална подгрупа'' било које групе је подгрупа <math>\left \{''-{ e \right \}-''}</math> која се састоји само од неутрала. Ако је ''-{<math>H}-''</math> подгрупа од ''-{<math>G}-''</math>, понекад се каже да је ''-{<math>G}-''</math> ''надгрупа'' од ''-{<math>H}-''</math>.
 
== Основна својства подгрупа ==
 
'''Теорема:'''
* Непразан подскуп ''-{<math>H}-''</math> скупа ''-{<math>G}-''</math> је подгрупа ''-{<math>H}-''</math> групе ''-{<math>G}-''</math> ако и само ако је ''-{<math>H}-''</math> затворена у односу на множење и инвертовање елемената. Затвореност за производе и инверзе подразумева да кад год су ''-{<math>a}-''</math> и ''-{<math>b}-''</math> унутар ''-{<math>H}-''</math>, тада је и ''-{<math>ab}-''</math> и ''-<math>a^{a}-''<sup>&minus;1}</supmath> су такође унутар ''-{<math>H}-''</math>. Ова два услова могу да се споје у један еквивалентан услов: кад год су ''-{<math>a}-''</math> и ''-{<math>b}-''</math> унутар ''-{<math>H}-''</math>, тада је и ''-{ab}-''<supmath>&minus;ab^{-1}</supmath> унутар ''-{<math>H}-''.</math>
* Непразан подскуп ''-{<math>H}-''</math> скупа ''-{<math>G}-''</math> је подгрупа ''-{<math>H}-''</math> групе ''-{<math>G}-''</math> ако и само ако за свака два елемента -{''<math>h, h' ''}-</math> из ''-{<math>H}-''</math>, и елемент -{''h<supmath>h^{-1}h'</supmath>h'''}- припада ''-{<math>H}-''</math>.
* Непразан подскуп ''-{<math>H}-''</math> коначног скупа ''-{<math>G}-''</math> је подгрупа ''-{<math>H}-''</math> групе ''-{<math>G}-''</math> ако и само ако је скуп ''-{<math>H}-''</math> затворен у односу на множење. У овом случају, сваки елемент ''-{<math>a}-''</math> из ''-{<math>H}-''</math> генерише коначну [[циклична група|цикличну подгрупу]] од ''-{<math>H}-''</math>, и инверз од ''-{<math>a}-''</math> је тада ''-<math>a^{a}-''<sup>&minus;1</sup> }= -a^{''a''<sup>''n'' &minus; -1}</supmath>}-, где је ''-{<math>n}-''</math> ред од ''-{<math>a}-''</math>.<ref>[http://www.ff.bg.ac.rs/Katedre/QMF/pdf/y2k.pdf Хилбертови простори и групе, Милан Дамњановић]. pp. 30; приступљено: 1. септембар 2015.</ref>
 
=== Особине подгрупа ===
 
* Неутрал подгрупе је неутрал групе: ако је ''-{<math>G}-''</math> група са неутралом -{''e''<submath>''G''e_G</submath>}-, и ''-{<math>H}-''</math> је подгрупа од ''-{<math>G}-''</math> са неутралом -{''e''<submath>''H''e_H</submath>}-, тада је -{''e''<submath>''H''</sub> e_H= ''e''<sub>''G''e_G</submath>}-.
* Инверз елемента подгрупе је инверз елемента групе: ако је ''-{<math>H}-''</math> подгрупа од ''-{<math>G}-''</math>, и ''-{<math>a}-''</math> и ''-{<math>b}-''</math> су елементи из ''-{<math>H}-''</math>, такви да -{''<math>ab'' = ''ba'' = ''e''<sub>''H''e_H</submath>}-, тада -{''<math>ab'' = ''ba'' = ''e''<sub>''G''e_G</submath>}-.
* Пресек подгрупа ''-{<math>A}-''</math> и ''-{<math>B}-''</math> групе ''-{<math>G}-''</math> је такође подгрупа. Унија ''-{<math>A}-''</math> и ''-{<math>B}-''</math> је подгрупа ако и само ако или ''-{<math>A}-''</math> садржи ''-{<math>B}-''</math> или обратно, јер на пример 2 и 3 су у унији -{<math>2Z}-</math> и -{<math>3Z}-</math> али њихова сума 5 није.
* Ако је ''-{<math>S}-''</math> подскуп од ''-{<math>G}-''</math>, тада постоји минималнанајмања подгрупа која садржи ''-{<math>S}-''</math>, која се може наћи узимањем пресека свих подгрупа које садрже ''-{<math>S}-''</math>; ово се означава сакао -{<''math><S''>}-</math> и назива се подгрупом генерисаном са ''-{<math>S}</math>-''ом. Елемент из ''-{<math>G}-''</math> је унутар -{<''math><S''>}-</math> ако и само ако је коначан производ елемената ''-{<math>S}-''</math> и њихових инверза.
* Сваки елемент ''-{<math>a}-'' из</math> групе ''-{<math>G}-''</math> одређује (генерише) цикличну подгрупу -{<''math><a''>}-</math>. Ако је -{<''math><a''>}-</math> изоморфно са -{'''<math>\Z'''/''n'''''\Z'''}-</math> за неки позитиван цео број ''-{<math>n}-''</math>, онда је ''-{<math>n}-''</math> најмањи позитиван цео број за који -{''a''<supmath>''a^n''=e</supmath> = ''e''}-, и ''-{<math>n}-''</math> се назива ''редом'' од ''-{<math>a}-''</math>. Ако је -{<''math><a''>}-</math> изоморфно са '''-{<math>Z}-'''</math>, тада се каже да је ''-{<math>a}-''</math> ''бесконачног реда''.
 
== Пример ==
Нека је ''-{<math>G}-''</math> [[Абелова група]] чији су елементи
:''-{<math>G}-''=\{0,2,4,6,1,3,5,7\}</math>
и чија је операција групе [[модуларна аритметика|сабирање по модулу осам]]. Њена [[Кејлијева табела]] је
{| border="2" cellpadding="7"
|}
 
Ова група има пар нетривијалних подгрупа: ''-{<math>J}-''=\{0,4\}</math> и ''-{<math>H}-''=\{0,2,4,6\}</math>, где је ''-{<math>J}-''</math> такође подгрупа од ''-{<math>H}-''</math>. Кајлијева табела за ''-{<math>H}-''</math> је горњи леви квадрант Кајлијеве табеле за ''-{<math>G}-''</math>. Група ''-{<math>G}-''</math> је [[циклична група|циклична]], па су и њене подгрупе цикличне. Уопштено, подгрупе цикличних група су цикличне..
 
== Косети и Лагранжова теорема ==
{{главни|Лагранжова теорема (теорија група)}}
 
Ако је дата подгрупа ''-{<math>H}-''</math> и неко ''-{<math>a}-''</math> из -{<math>G}-</math>, дефинишемо леви [[косет]] -{''<math>aH'' = \{''ah'' : ''h''}-\in из ''-{H\}-''}</math>. Како је ''-{<math>a}-''</math> инверзибилно, пресликавање -{&phi; <math>\varphi: ''H''\rightarrow &rarr; ''aH''}-</math> дефинисано као -{&phi;<math>\varphi(''h'') = ''ah''}-</math> је [[бијекција]]. Штавише, сваки елемент из ''-{<math>G}-''</math> се налази у тачно једном левом косету од ''-{<math>H}-''</math>; леви косети су класе еквиваленције у односу на [[релација еквиваленције|релацију еквиваленције]] -{''a''<sub>1</submath>a_1\sim ~ ''a''<sub>2a_2</submath>}- [[ако и само ако]] је -{''a''<submath>a_1^{-1}a_2</submath> у <supmath>&minus;1H</supmath>''a''<sub>2</sub>}- у ''-{H}-''. Број левих косета ''-{<math>H}-''</math> се назива ''индексом'' ''-{<math>H}-''</math> у ''-{<math>G}-''</math>, и означава се са -{<math>[''G'' : ''H'']}-</math>.
 
[[Лагранжова теорема (теорија група)|Лагранжова теорема]] гласи да за коначну групу ''-{<math>G}-''</math> и њену подгрупу ''-{<math>H}-''</math>,
:<math> [ G : H] = { o(G) \over o(H) } </math>
где -<math>\textrm{red}(''G'')}-</math> и -<math>\textrm{red}(''H'')}-</math> означавају [[ред (теорија група)|редове]] од ''-{<math>G}-''</math> и ''-{<math>H}-''</math>. Ред сваке подгрупе од ''-{<math>G}-''</math> (и ред сваког елемента ''-{<math>G}-''</math>) обавезно дели -<math>\textrm{red}(''G'')}-</math>.
 
'''Десни косети''' су дефинисани аналогно: -{''<math>Ha'' = \{''ha'' : ''h''}- у\in ''-{H\}-''}</math>. Они су такође класе еквиваленције за одговарајућу релацију еквиваленције, и њихов ред је једнак -{<math>[''G'' : ''H'']}-</math>.
 
Ако је -{''<math>aH'' = ''Ha''}-</math> за свако ''-{<math>a}-''</math> из ''-{<math>G}-''</math>, тада се каже да је ''-{<math>H}-''</math> [[нормална подгрупа]]. Свака подгрупа индекса 2 је нормална: леви и десни косети су једноставно подгрупа и њен комплемент.
 
== Види још ==
Анониман корисник