Хипотеза континуума — разлика између измена
Садржај обрисан Садржај додат
м razne izmene; козметичке измене |
|||
Ред 12:
Реални бројеви се такође називају ''континуумом'', па отуда долази име. Постоји и '''генерализована хипотеза континуума''', која гласи:
: За све ординале <math>\alpha</math>, <math>2^{\aleph_\alpha} = \aleph_{\alpha+1}</math>
== Величина скупа ==
{{Главни чланак|Кардинални број}}
Да бисмо формално изразили хипотезу, потребна нам је дефиниција: кажемо да два скупа ''-{S}-'' и ''-{T}-'' имају исту ''кардиналност'' или ''[[кардиналан број|кардинални број]]'' ако постоји [[бијекција]]
<math>S \leftrightarrow T</math>.
Интуитивно, ово значи да је могуће да се ''упаре'' елементи из ''-{S}-'' са елементима скупа ''-{T}-'' тако да је сваки елемент из ''-{S}-'' упарен са тачно једним елементом из ''-{T}-'', и обратно. Значи скуп {банана, јабука, шљива} има исту кардиналност као и скуп {Мика, Пера, Лаза}.
Кад су у питању бесконачни скупови, као што су скупови [[цео број|целих бројева]] или [[рационалан број|рационалних бројева]], овакве ствари је мало компликованије показати. Узмимо скуп свих рационалних бројева. Очигледна (и погрешна) претпоставка би могла да буде да рационалних бројева има више од целих бројева, а да реалних бројева има више него рационалних, што би оборило хипотезу континуума. Међутим, показује се да је кардиналност рационалних бројева једнака кардиналности целих бројева, и да су оба [[пребројив скуп|пребројиви скупови]].
Ред 43:
== Генерализована хипотеза континуума ==<!-- Овај наслов је линкован из чланка [[аксиома избора]] - ВОДИТИ РАЧУНА О ТОМЕ У СЛУЧАЈУ ПРОМЕНЕ НАСЛОВА (исправити линкове у одговарајућем чланку) -->
''Генерализована хипотеза континуума'' тврди да ако кардиналност бесконачног скупа лежи између кардиналности бесконачног скупа ''-{S}-'' и кардиналности скупа партитивног скупа од ''-{S}-'', тада тај скуп има или кардиналност скупа ''-{S}-'' или скупа партитивног скупа од ''-{S}-''. То јест, за сваки бесконачан кардинал <math>\lambda</math> не постоји кардинал <math>\kappa</math>, такав да <math>\lambda <\kappa <2^{\lambda}.</math> Еквивалентан услов је да <math>\aleph_{\alpha+1}=2^{\aleph_\alpha}</math> за сваки ординал <math>\alpha.</math> [[Бет број]] пружа алтернативну нотацију за овај услов: <math>\aleph_\alpha=\beth_\alpha</math> за сваки ординал <math>\alpha.</math>
Ово је генерализација хипотезе континуума, јер континуум има исту кардиналност као партитивни скуп целих бројева. Као и хипотеза континуума, и генерализована хипотеза континуума је независна од ЗФ теорије скупова са аксиомом избора, али [[Вацлав Сјерпињски]] је доказао да ЗФ теорија скупова и генерализована хипотеза континуума имплицирају [[аксиома избора|аксиому избора]], тако да избор и генерализована хипотеза континуума нису независне у ЗФ; не постоје модели у ЗФ у којима генерализована хипотеза континуума стоји, а аксиома избора не стоји.
Ред 52:
Генерализована хипотеза континуума генерално фиксира вредности кардиналне експоненцијације. Вредност <math>\aleph_{\alpha}^{\aleph_{\beta}}</math> је:
:<math>\aleph_{\beta+1}</math> када ''α ≤ β+1'';
:<math>\aleph_{\alpha}</math> када ''β+1 < α'' и експонент је мањи од конфиналности базе; и
:<math>\aleph_{\alpha+1}</math> када ''β+1 < α'' и експонент је већи или једнак конфиналности базе.
Ред 61:
== Литература ==
* {{Cite book | ref= harv|first = P. J. |last=Cohen| title = Set Theory and the Continuum Hypothesis | publisher = W. A. Benjamin|year=1966}}
* {{cite journal
| first = Paul J. | last = Cohen
Ред 76:
| url = http://links.jstor.org/sici?sici=0027-8424%2819640115%2951%3A1%3C105%3ATIOTCH%3E2.0.CO%3B2-U
}}
* {{Cite book | ref= harv|first = H. G. |last=Dales| coauthors = W. H. Woodin | title = An Introduction to Independence for Analysts| publisher = Cambridge|year=1987}}
* {{cite web
| author = Foreman, Matt
Ред 91:
| volume = 51 | issue = 1 |year=1986|pages=190-200
}}
* {{Cite book | ref= harv|first = K. |last=Gödel| title = The Consistency of the Continuum-Hypothesis | publisher = Princeton University Press|year=1940}}
* -{Gödel, K.: ''What is Cantor's Continuum Problem?'', reprinted in Benacerraf and Putnam's collection ''Philosophy of Mathematics'', 2nd ed., Cambridge University Press, 1983. An outline of Gödel's arguments against CH.}-
* {{cite journal
| |||