Контрапозиција

Квадратна форма је алгебарски појам који означава пресликавање $\Phi :V\to K$, где је V векторски простор над пољем K, индуковано пресликавањем $F:V\times V\to K$, и то тако да важи $(\forall u\in V)\Phi (u)=F(u,u)$, а које испуњава услове:

$1^{\circ }(\forall \alpha \in K)(\forall u\in V)\Phi (\alpha u)=\alpha ^{2}\Phi (u)$, и

$2^{\circ }F_{0}(u,v)=\Phi (u+v)-\Phi (u)-\Phi (v)$ је билинеарно пресликавање.

Скуп свих оваквих пресликавања Ф означава се са Q(V, K), и за њега важи да је потпростор простора свих пресликавања из V у K ($K^{V}$).

Особине квадратних форми

С обзиром на дефиницију, уколико је F симетрична билинеарна форма, важиће и $F_{0}=2F$, за већ дате ознаке. Додатно, ако поље K није поље карактеристике 2, тада ће, имајући у виду дату једнакост, бити и $F(u,v)={\frac {1}{2}}(\Phi (u+v)-\Phi (u)-\Phi (v))$.

Важи и обратно, тј. за ма које пресликавање Ф које испуњава 1° и 2° постојаће јединствена билинеарна форма F за коју важи $(\forall u\in V)\Phi (u)=F(u,u)$ и $F(u,v)={\frac {1}{2}}(\Phi (u+v)-\Phi (u)-\Phi (v))$, али само уколико је карактеристика поља K већа од 2.

Управо ова једнозначност дозвољава увођење посебног назива за функцију F — поларизација или поларна форма квадратне форме Ф.

Поред овога, може се дефинисати и изоморфизам веторских простора Q(V, K) и S2(V, K) — $\Omega :Q(V,K)\to S2(V,K)$ са $\Omega (\Phi )=F$.