Teorema prostih brojeva — разлика између измена

(.)
 
 
== Iskaz ==
[[File:Prime number theorem ratio convergence.svg|thumb|300px|GraphGrafikon showingkoji ratioprikazuje ofodnos thefunkcije prime-countingbrojanja functionprostih brojeva {{math|''π''(''x'')}} toi twodve ofnjene its approximationsaproksimacije, {{math|''x'' / log ''x''}} andi {{math|Li(''x'')}}. AsKako se {{mvar|x}} increasespovećava (notenapomena: {{mvar|x}} axisosa isje logarithmiclogaritamska), bothoba ratiosse tendodnosa towardskreću prema 1. The ratioOdnos forza {{math|''x'' / log ''x''}} convergeskonvergira fromodozgo abovevrlo very slowlysporo, whiledok theodnos ratioza for {{math|Li(''x'')}} converges more quicklybrže fromkonvergira belowodozdo.]]
[[File:Prime number theorem absolute error.svg|thumb|300px|Log-log plotgrafikon showingprikazuje absoluteapsolutnu errorgrešku ofod {{math|''x'' / log ''x''}} andi {{math|Li(''x'')}}, twodve approximationsaproksimacije tofunkciji thebrojanja prime-countingprostih functionbrojeva {{math|''π''(''x'')}}. UnlikeZa therazliku ratio,od theodnosa, differencerazlika betweenizmeđu {{math|''π''(''x'')}} andi {{math|''x'' / log ''x''}} increasesse withoutpovećava boundbez asograničenja kako se {{mvar|x}} increasespovećava. On theS otherdruge handstrane, {{math|Li(''x'') − ''π''(''x'')}} switchesmanja signznak infinitelybeskonačno manymnogo timesputa.]]
 
LetNeka je {{math|''π''(''x'')}} be the [[prime-counting function|funkcija brojanja prostih brojeva]] thatkoja givesdaje thebroj numberprostih of primes lessbrojeva thanmanji orili equaljednak tosa {{mvar|x}}, forza anysvaki realrealni numberbroj {{mvar|x}}. ForNa exampleprimer, {{math|''π''(10) {{=}} 4}}, becausejer therepostoje arečetiri fourprosta prime numbersbroja (2, 3, 5 andi 7) lessmanja thanili orjednaka equal tood 10. ThePrema primeteoremi numberprostih theorembrojeva thentada states thatje {{math|''x'' / log ''x''}} is a gooddobra approximationaproksimacija toza {{math|''π''(''x'')}} (wheregde log hereznačava meansprirodni the natural logarithmlogaritam), inu thesmislu senseda that theje [[limit of a function|limit]] of the ''quotient'' of thekoličnika twodve functionsfunkcije {{math|''π''(''x'')}} andi {{math|''x'' / log ''x''}} askako se {{mvar|x}} increasespovećava withoutbez boundograničenja isjednak 1:
 
: <math>\lim_{x\to\infty}\frac{\;\pi(x)\;}{\;\left[ \frac{x}{\log(x)}\right]\;} = 1,</math>
 
Ovo je poznato kao '''asimptotski zakon distribucije prostih brojeva'''. Koristeći [[Велико О|asimptotsku notaciju]] ovaj rezultat se može napisati kao
known as '''the asymptotic law of distribution of prime numbers'''. Using [[asymptotic notation]] this result can be restated as
 
:<math>\pi(x)\sim \frac{x}{\log x}.</math>
 
ThisOva notationnotacija (and thei [[theoremteorema]]) does ''notne'' saygovori anythingo about the limit of thelimitu ''differencerazlike'' of thedve twofunkcije functionskad asse {{mvar|x}} increasespovećava withoutbez boundograničenja. InsteadUmesto toga, theteorema theoremnavodi states thatda {{math|''x'' / log ''x''}} approximatesaproksimira {{math|''π''(''x'')}} inu thesmislu senseda that these [[relativeГрешка errorу апроксимацији|relativna greška]] ofove thisaproksimacije approximation approachespribližava 0, kada asse {{mvar|x}} increasespovećava withoutbez boundograničenja.
 
TheTeorema primeprostih numberbrojeva theoremje isekvivalentna equivalenttvrđenju to the statement that theda {{mvar|n}}th-ti primeprosti numberbroj {{mvar|p<sub>n</sub>}} satisfieszadovoljava
 
:<math>p_n \sim n\log(n),</math>
 
theasimptotska asymptoticnotacija notationponovo meaning,ukazuje again,na thatto theda relativerelativna errorgreška ofove thisaproksimacije approximationpristupa approaches0 0kad asse {{mvar|n}} increasespovećava withoutbez boundograničenja. ForNa exampleprimer, the {{val|2|e=17}}th-ti primeprosti numberbroj isje {{val|8512677386048191063}},<ref>{{cite web|title=Prime Curios!: 8512677386048191063|url=http://primes.utm.edu/curios/cpage/24149.html|work=Prime Curios!|publisher=University of Tennessee at Martin|date=2011-10-09}}</ref> andi ({{val|2|e=17}})log({{val|2|e=17}}) roundszaokružuje tose na {{val|7967418752291744388}}, asa relativerelativnom errorgreškom ofod aboutoko 6.,4%.
 
Teorema prostih brojeva je isto tako ekvivalentna sa
The prime number theorem is also equivalent to
:<math>\lim_{x\to\infty} \frac{\vartheta (x)}x = \lim_{x\to\infty} \frac{\psi(x)}x=1,</math>
wheregde su {{mvar|ϑ}} andi {{mvar|ψ}} areprva i druga [[Chebyshev function|the first and the second ChebyshevČebiševa functionsfunkcija]], respectivelyrespektivno.
 
== Tabela {{math|''π''(''x'')}}, {{math|''x'' / log ''x''}}, and {{math|li(''x'')}} ==