Teorema prostih brojeva — разлика између измена

.
(.)
 
== Iskaz ==
[[File:Prime number theorem ratio convergence.svg|thumb|300px|Grafikon koji prikazuje odnos funkcije brojanjaraspodele prostih brojeva {{math|''π''(''x'')}} i dve njene aproksimacije, {{math|''x'' / log ''x''}} i {{math|Li(''x'')}}. Kako se {{mvar|x}} povećava (napomena: {{mvar|x}} osa je logaritamska), oba se odnosa kreću prema 1. Odnos za {{math|''x'' / log ''x''}} konvergira odozgo vrlo sporo, dok odnos za {{math|Li(''x'')}} brže konvergira odozdo.]]
[[File:Prime number theorem absolute error.svg|thumb|300px|Log-log grafikon prikazuje apsolutnu grešku od {{math|''x'' / log ''x''}} i {{math|Li(''x'')}}, dve aproksimacije funkcijifunkcije brojanjaraspodele prostih brojeva {{math|''π''(''x'')}}. Za razliku od odnosa, razlika između {{math|''π''(''x'')}} i {{math|''x'' / log ''x''}} se povećava bez ograničenja kako se {{mvar|x}} povećava. S druge strane, {{math|Li(''x'') − ''π''(''x'')}} manja znak beskonačno mnogo puta.]]
 
Neka je {{math|''π''(''x'')}} [[prime-counting function|funkcija brojanjaraspodele prostih brojeva]] koja daje broj prostih brojeva manji ili jednak sa {{mvar|x}}, za svaki realni broj {{mvar|x}}. Na primer, {{math|''π''(10) {{=}} 4}}, jer postoje četiri prosta broja (2, 3, 5 i 7) manja ili jednaka od 10. Prema teoremi prostih brojeva tada je {{math|''x'' / log ''x''}} dobra aproksimacija za {{math|''π''(''x'')}} (gde log značava prirodni logaritam), u smislu da je [[limit of a function|limit]] količnika dve funkcije {{math|''π''(''x'')}} i {{math|''x'' / log ''x''}} kako se {{mvar|x}} povećava bez ograničenja jednak 1:
 
: <math>\lim_{x\to\infty}\frac{\;\pi(x)\;}{\;\left[ \frac{x}{\log(x)}\right]\;} = 1,</math>