Неједнакост троугла — разлика између измена
Садржај обрисан Садржај додат
Уклоњен целокупан садржај странице ознака: страница испражњена |
Нема описа измене |
||
Ред 1:
'''Неједнакост троугла''' једна је од најважнијих [[Математика|математичких]] [[Неједнакост|неједнакости]]. Оригинално, везивана је за геометрију, конкретно чињеницу да је у [[Троугао|троуглу]] збир дужина двеју произвољних страница увек већа од дужине преостале. Касније, ова идеја се проширила и на друге математичке просторе, првенствено на [[Реални бројеви|скуп реалних]] и [[Комплексни бројеви|скуп комплексних бројева]] и остале [[Векторски простор|векторске просторе]] као особина [[Норма (математика)|норме]], а потом је добила и своје уопштење на свим [[Метрички простор|метричким просторима]].<ref>{{ен}} [https://www.britannica.com/science/triangle-inequality „Неједнакост троугла”], [[Енциклопедија Британика]]. Приступљено: [[19. април]] [[2020]].</ref>
== Неједнакост троугла у Еуклидској геометрији ==
[[Датотека:TriangleInequality.PNG|мини|Збир дужина двеју страница је увек већи од дужине треће.]]
Још је [[Еуклид]] показао да су, у произвољном троуглу, две странице, надограђене једна на другу, веће дужине од треће. То је и објавио у првој књизи својих [[Еуклидови Елементи|„Елемената”]], и то као пропозицију 20.<ref>{{ен}} [http://mathcs.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookI/propI20.html Еуклидов доказ], [[Еуклидови Елементи|„Елементи”]]. Приступљено: [[19. април]] [[2020]].</ref> Математички записано, ако су <math>a</math>, <math>b</math> и <math>c</math> три различите странице троугла, тада важи
:<math>a + b < c \and b + c < a \and c + a < b</math>.
Јасно, збир дужина двеју страница никад не може бити једнак дужини треће, јер у том случају опажени троугао и не постоји, тј. у питању је само дуж — ово, између осталог, показује да је најкраће [[Еуклидска раздаљина|растојање]] двеју тачака управо [[дуж]] која их повезује. Такође, никада не може бити ни мања, што проистиче из особина [[Метрика (математика)|метрика]], јер се растојање у [[Еуклидов простор|Еуклидском простору]] може посматрати као својеврсна метрика.<ref>[http://www1.pmf.ni.ac.rs/pmf/publikacije/mii/2016-3-3/Metrike.pdf „Неки примери метрика”], Небојша Динчић, стр. 26.</ref>
Неједнакост троугла се у случају Еуклидских простора може [[Математичка индукција|математичком индукцијом]] проширити и на произвољну полигонску (изломљену) [[Линија|линију]]. У овом облику, она казује да је дужина најкраћег пута између крајњих темена произвољне полигонске линије мања или једнака од збира дужина путева међу сваких двеју суседних темена, тј.
:<math>d(x_1, x_n) \leq \sum_{i = 1}^{n - 1} d(x_i, x_{i + 1})</math>, где су <math>(x_i)_{i = 1}^{n}</math> темена полигонске линије, а <math>d</math> стандардно [[Еуклидска раздаљина|Еуклидско растојање]].<ref>{{ен}} [https://www.ias.ac.in/article/fulltext/reso/019/02/0135-0148 „Од неједнакости троугла до изопериметричке неједнакости”], С. Кецаван. -{[https://www.ias.ac.in/Journals/Resonance_%E2%80%93_Journal_of_Science_Education/ Resonance]}-, -{Indian Academy of Sciences}-, стр. 136, издање Фебруар 2014.</ref>
Коначна последица овога је да је у произвољном [[Многоугао|полигону]] свака страница краћа од збира дужина свих осталих.
== Референце ==
{{извори}}
| |||