Numerička integracija — разлика између измена

== Metode za jednodimenzione integrale ==
 
Metode numeričke integracije se mogu generalno opisati kao kombinacije procjenaprocena integranda (funkcije) da se dobije aproksimacija integrala. Integrand je definisan kao konačan skup tačaka nazivanih '''integracione tačke''' i zbir ovih vrijednostivrednosti se koristi za aproksimaciju integrala. Integracione tačke i zbir zavise od posebnih metoda koje se koriste i preciznosti koja se traži aproksimacijom.
 
Važan diodeo analize bilo koje numeričke integracione metode je proučavanje ponašanja greške aproksimacije kao funkcija broja procjeneprocene integranda. Metoda koja ima malu grešku za mali broj procjenaprocena je često smatrana superiornom. Smanjenjem broja procjenaprocena integranda, smanjuje se i broj korištenih aritmetičkih operacija, te se smanjuje ukupna greška proračuna. Takođe, svaka procjenaprocena uzima vrijemevreme, a integrand može biti svojevoljno komplikovan.
 
Metoda ''Brutegrube forcesile'' metoda ("nasilna„nasilna metoda"metoda” koja koristi sve kombinacije) numeričkog integrisanja može biti obavljena ako integrand ima "dobro„dobro ponašanje"ponašanje” (tj. ako je funkcija kontinualna i iz ograničene varijacije), sa procjenomprocenom integranda sa veoma malim korakom - inkrementom.
 
=== Kvadraturna pravila bazirana na interpolaciji funkcija ===
 
[[Datoteka:Integration trapezoid.svg|thumb|Ilustracija trapeznog pravila.]]
Interpolacijska funkcija može biti polinom prvog stepena koja prolazi kroz tačke: (''a'', ''f''(''a'')) i (''b'', ''f''(''b'')). Ovo se zove ''[[trapeznotrapezoidno pravilo]]''.
 
:<math>\int_a^b f(x)\,dx \approx (b-a) \, \frac{f(a) + f(b)}{2}.</math>
 
[[Datoteka:Integration simpson.png|thumb|Ilustracija Simpsonovog pravila.]]
Za bilo koje od ovih pravila se može napraviti preciznija aproksimacija prekidanjem intervala [a, b] na veći broj podintervala, računajući aproksimaciju za svaki podinterval, te sabirajući sve u jedan rezultat. Ovo se zove ''kompozitno pravilo'', ''prošireno pravilo'' ili ''iterativno pravilo''. NaprimjerNa primer, kompozitno trapezno pravilo ima slijedećisledeći oblik:
 
:<math>\int_a^b f(x)\,dx \approx \frac{b-a}{n} \left( {f(a) \over 2} + \sum_{k=1}^{n-1} \left( f \left( a+k \frac{b-a}{n} \right) \right) + {f(b) \over 2} \right)</math>
 
gdjegde podintervali imaju oblik [''k'' ''h'', (''k''+1) ''h''], sa ''h'' = (''b''−''a'')/''n'' i ''k'' = 0, 1, 2, ..., ''n''−1.
 
Interpolacija sa polinomima procijenjenaprocenjena sa tačkama sa jednakim rastojanjima u zatvorenom sektoru [''a'', ''b''] se radi ''[[NewtonЊутн-CotesoveКоутс formuleформуле|NewtonNjutn-CotesovimKoutsovim formulama]]'' (njutn-koteskouts), od koje su primjeriprimeri trapezno i kvadratno pravilo. Simpsonovo pravilo, koje se bazira na polinomima drugog reda, je takođertakođe Newtonjutn-CotesovaKoutsova formula.
 
Kvadraturna pravila sa jednako razmaknutim tačkama imaju veoma pogodnu osobinu ''gniježđenjagnežđenja''. Odgovarajuće pravilo sa svakim podpodijeljenimpodpodeljenim intervalom sadrži sve trenutne tačke, pa ove vrijednostivrednosti integranda mogu biti ponovo iskorištene.
 
Ako se dopusti da intervali između interpolacionih tačaka variraju, onda se nalazi nova grupa kvadraturnih formula, kao što je Gausova kvadraturna formula. Gausovo kvadraturno pravilo je još preciznije od NewtonNjutn-CotesovogKoutsovog pravila koje zahtjevazahteva jednak broj iteracija ako je funkcija koja se integriše (integrand) glatka krivuljakriva (npr, ako je dovoljno diferencijabilna). Ostale kvadraturne metode sa varijacijom intervala uključuju Clenshaw–CurtisKlenšo–Kurtisove kvadraturne metode (takođertakođe zvane FejérFejerove kvarature), koje se gnijezdegnezde.
 
Gausova kvadraturna pravila nemaju osobinu gniježđenjagnežđenja, ali Gauss–KronrodGaus–Kronrodove kvadraturne formule imaju.
 
=== Prilagodljivi algoritmi ===
 
Ako -{''f(x)''}- nema puno izvoda na svim tačkama, ili ako izvodi postanu ogromni, onda Gausova kvadratura je često nedovoljna. U tom slučaju, algoritam ispod će bolje uraditi zadatak:
 
<syntaxhighlight lang="python">
</syntaxhighlight>
 
Neki detalji algoritma zahtjevajuzahtevaju pažljiv pristup. Za više slučajeva, pronalazak greške kvadrature na intervalu za funkciju -{''f''(''x'')}- nije očita. JednaJedno poznatapoznato solucijarešenje je da se koriste dva pravila kvadratura i korištenjem razlike se može procijenitiproceniti greška kvadrature. Čest problem je odlučitida se odluči šta označava "premalo"„premalo” ili "preveliko"„preveliko”. Lokalni kriterijkriterijum za "preveliko"„preveliko” je da kvadraturna greška ne smijesme bitida bude veća od -{''t'' · ''h,''}-, gdjegde je -{''t,''}- realni broj, tolerancija koja se želi podesiti za globalnu grešku. Opet, ako je -{''h''}- već malo, onda može biti bespotrebno pravitiučiniti ga čak manjim iako je kvadraturna greška velika. Globalni kriterijkriterijum je da zbir grešaka na svim intervalima bude manji od -{''t''}-. Ovaj tip analize greške se često naziva "posteriori"„posteriori” zato što se nakon svake procjeneprocene računa i greška.
 
=== Metoda ekstrapolacije ===
 
Preciznost kvadraturnog pravila kod NewtonNjutn-CotesKouts tipa je uglavnom funkcija broja na tačkama procene. Rezultat je često više pouzdan kad se broj tačaka poveća, ili, ekvivalentno, kad se razmaci između tačaka smanje. Nameće se pitanje kakav bi rezultat bio kada bi razmaci među tačkama bili jednaki nulanuli. OvoOdgovor se može odgovoritinaći ekstrapolacijom rezultata od dva do -{''n''}- razmaka koristeći ubrzavajuće metode kao npr. RichardsonoveRičardsonove ekstrapolacije. Ekstrapolaciona funkcija može biti polinom ili racionalna funkcija. Ekstrapolacione metode su opisanje detaljnije u od strane Stoera i BulirschaBulirča (Sekcija 3.4) i implementirane su u više metoda u [[QUADPACK]] biblioteci.
 
=== Konzervativna (a priori) procjena greške ===
 
Ako se pustidopusti da -{''f''}- ima ograničen prvi izvod na zatvorenom intervalu -{[''a'',''b'']}-. Teorema srednje vrijednostivrednosti za -{''f''}-, gdjegde je ''x'' < -{''b''}-, daje:
 
: <math>(x - a) f'(v_x) = f(x) - f(a)\,</math>
 
za neke -{''v<sub>x</sub>''}- iz intervala [''a'',''x''] zavisne od ''x''. Ako se integriše po ''x'' od -{''a''}- do -{''b''}- na objeobe strane i uzmu apsolutne vrijednostivrednosti, dobije se:
 
: <math>\left| \int_a^b f(x)\,dx - (b - a) f(a) \right|
= \left| \int_a^b (x - a) f'(v_x)\, dx \right|</math> (*)
 
Može se dalje aproksimirati integral na desnoj strani nejednakosti ubacujući apsolutnu vrijednostvrednost u integrand i smjenomsmenom slova u -{''f' ''}- prema gornjoj granici:
 
: <math>\left| \int_a^b f(x)\,dx - (b - a) f(a) \right| \leq {(b - a)^2 \over 2} \sup_{a \leq x \leq b} \left| f'(x) \right|</math> (**)
 
Ako aproksimiramose aproksimira integral -{'''∫<sub>''a''</sub><sup>''b''</sup> ''f''(''x'') d''x'''''}- sa kvadraturnim pravilom (-{''b''&nbsp;−&nbsp;''a'')''f''(''a''}-), naša greška nije veća od one na desnoj strani kod (**). Ovo se može pretvoriti u analizu greške za RiemannovuRimannovu sumu (*), davajući gornju granicu od
 
: <math>{n^{-1} \over 2} \sup_{0 \leq x \leq 1} \left| f'(x) \right|</math>
 
za izražavanje greške od određene aproksimacije. (Komentar: U ovom primjeruprimeru je ovo greška koja je izračunata za primjerprimer <math>f(x) = x</math>.) Koristeći više izvoda i popravljanja kvadrature može se dobiti ista greška analize koristeći se [[TaylorovТејлоров redполином|Taylorovim redovima]] (koristeći parcijalnu sumu sa ostatkom) za -{''f''}-. Ova analiza greške daje striktnu gornju granicu greške ako postoje izvodi za -{''f''}-.
 
Ova metoda integracije može biti kombinovana sa ''aritmetikom intervala'' da kreira računarski dokaz i ''verificirane'' proračune.
=== Integrali sa beskonačnim intervalima ===
 
Postoji nekoliko metoda za aproksimaciju integracije kod neograničenih intervala. Uobičajena tehnika uključuje posebno izvedena kvadraturna pravila, poput GaussGaus-HermiteHermitove kvadratura za integrale na čitavoj liniji realnih brojeva i GaussGaus-LaguerreLagerove kvadrature za integrale na pozitivnim realnim brojevima.<ref>{{cite book |last=Leader |first=Jeffery J. | authorlink=Jeffery J. Leader| title=Numerical Analysis and Scientific Computation |year=2004 |publisher=Addison Wesley |location= |isbn= 0-201-73499-0}}</ref> Monte CarloKarlove metode mogu takođertakođe biti korištene, ili mijenjanjemmenjanjem promjenljivihpromenljivih na konačan interval. To se može predstaviti ovako za neograničene intervale s objeobe strane:
 
:<math>