Википедија

Парабола — разлика између измена

Интерактиван преглед историје
← Старија изменаНовија измена →
Садржај обрисан Садржај додат
ВизуелноВикитекст
.
Ред 27:
где је <math>B^2 = 4 AC \,</math>, сви коефицијенти су реални бројеви, <math>A \not= 0 \,</math>, <math>C \not= 0 \,</math>, и где постоји више од једног решења које дефинише тачке параболе (x, y).
 
== OsobineОсобине==
Парабола је осно [[симетрија|симетрична]]. Оса симетрије пролази фокусом параболе и окомита је на директрису. Ротацијом параболе око њене осе симетрије настаје [[параболоид]].
Parabola je osno [[simetrija|simetrična]]. Osa simetrije prolazi fokusom parabole i okomita je na direktrisu. Rotacijom parabole oko njene ose simetrije nastaje [[paraboloid]].
 
ZaЗа paraboluпараболу kažemoсе daкаже jeда uје normalnomу položajuнормалном положају, kadaкада jeје njenaњена osaоса paralelnaпаралелна sс osomосом <math>x</math> iliили <math>y</math>.
 
Парабола се може дефинисати као конусни пресек с нагибом који је једнак један. Из тог произилази, да су све параболе [[Sličnost (geometrija)|сличне]].<ref name="Kumpel">{{citation |first=P. G. |last=Kumpel |title=Do similar figures always have the same shape? |journal=The Mathematics Teacher |year=1975 |volume=68 |issue=8 |pages=626–628 |doi=10.5951/MT.68.8.0626 |issn=0025-5769}}.</ref><ref>{{citation |first1=Atara |last1=Shriki |first2=Hamatal |last2=David |title=Similarity of Parabolas – A Geometrical Perspective |journal=Learning and Teaching Mathematics |year=2011 |volume=11 |pages=29–34}}.</ref> Парабола се може шватити као граница [[низ (математика)|низа]] [[елипса|елипсе]], у којој је једнан од фокуса стационаран, а други се постепено удаљава до бесконачности.
Parabola se može definisati kao konusni presjek s nagibom koji je jednak jedan. Iz tog proizilazi, da su sve parabole [[sličnost|slične]]. Parabolu možemo shvatiti kao granicu [[niz (matematika)|niza]] [[elipsa|elipse]], u kojoj je jednan od fokusa stacionaran, a drugi se postepeno udaljava do beskonačnosti.
 
=== MatematičkiМатематички zapisiзаписи ===
'''ImplicitniИмплицитни zapisзапис'''
: <math>\| XF \| = \| Xd \| \,\!</math>
[[Скуп]] свих [[Тачка (геометрија)|тачака]] ''X'' у [[раван|равни]], које имају исту удаљеност од [[Елипса#Фокус_и_директриса|фокус]]а -{''F''}- и од [[Елипса#Фокус_и_директриса|директрисе]] -{''d''}-, која не пролази фокусом -{''F''}-.
[[Skup]] svih [[tačka|tačaka]] ''X'' u [[ravan|ravni]], koje imaju istu udaljenost od [[fokus]]a ''F'' i od [[direktrisa|direktrise]] ''d'', koja ne prolazi fokusom ''F''.
 
==== DescartesovДекартов koordinatniкоординатни sistemсистем ====
Стандардни опис параболе: <br />
Standardni opis parabole: <br />
[[Datoteka:Parabola_kartezsky_system.GIF|thumb|right|250px|ParabolaПарабола uу descartesovom[[Декартов koordinatnomкоординатни sistemuсистем|декартовом координатном систему]] ]]
<div>
-{'''V[m, n]'''}- – vrhврх paraboleпараболе saса koordinatamaкоординатама m, n <br />
-{'''F'''}- – fokusфокус paraboleпараболе <br />
-{'''d'''}- – direktrisaдиректриса <br />
-{'''o'''}- – osaоса парабола parabole <br />
'''<math>|DF| = p''' </math> – veličinaвеличина [[parametarПараметарска (matematika)једначина|parametraпараметра]], <math>p > 0 \,\!</math><!-- zaobljavanja --><br />
<math>|DV| = |FV| = {p\over 2} \,\!</math><br />
-{'''X[x, y]'''}- – proizvoljnaпроизвољна [[tačkaТачка (геометрија)|тачка]] kojaкоја pripadaприпада paraboliпараболи
</div><br />
 
===== KanonskiКанонски oblikоблик jednačineједначине =====
KanonskiКанонски (normalniнормални) oblikоблик jednačineједначине paraboleпараболе uу normalnomнормалном položajuположају (osaоса paraboleпараболе jeје paralelnaпаралелна saса osomосом <math>x</math> teте zaза vrhврх paraboleпараболе <math>V=[x_0,y_0]</math>) vrijedi вреди
:<math>{(y-y_0)}^2 = 2p(x-x_0)</math>
ZaЗа <math>p>0</math> parabolaпарабола jeје otvorenaотворена desnoдесно, aа zaза <math>p<0</math> parabolaпарабола jeје otvorenaотворена lijevoлево. ZaЗа <math>x_0=0, y_0=0</math> dobijaдобија seсе parabolaпарабола sс vrhomврхом uу koordinatnomкоординатном početkuпочетку.
 
Фокус тако задане параболе има координате
Fokus tako zadane parabole ima koordinate
:<math>\left[x_0+\frac{p}{2},y_0\right]</math>
а директриса је описана једначином
a direktrisa je opisana jednačinom
:<math>x=x_0-\frac{p}{2}</math>
 
Канонски облик једначине параболе с осом у координатној оси <math>y</math> и врхом у координатном почетку се може записати као
Kanonski oblik jednačine parabole s osom u osi <math>y</math> i vrhom u koordinatnom početku se može zapisati kao
:<math>x^2 = 2py</math>
ZaЗа <math>p>0</math> parabolaпарабола jeје otvorenaотворена premaпрема goreгоре, aа zaза <math>p<0</math> otvorenaотворена jeје premaпрема doleдоле.
 
===== JednačinaЈедначина konusnogконусног presjekaпресека =====
Ако се у једначини [[конусни пресек|конусног пресека]] уврсти <math>a_{11}=a_{12}=0</math> и <math>a_{13}a_{22}\neq 0</math>, добија се парабола у нормалном положају (оса параболе је паралелна с осом <math>x</math>),<ref name=ET>{{cite journal |last=Tsukerman |first=Emmanuel |title=On Polygons Admitting a Simson Line as Discrete Analogs of Parabolas |journal=Forum Geometricorum |volume=13 |date=2013 |pages=197–208 |url=http://forumgeom.fau.edu/FG2013volume13/FG201321.pdf}}</ref> која има дисектрису
Ako u jednačini [[konusni presjek|konusnog presjeka]] uvrstimo <math>a_{11}=a_{12}=0</math> i <math>a_{13}a_{22}\neq 0</math>, dobijemo parabolu u normalnom položaju (osa parabole je paralelna s osom <math>x</math>), koja ima disektrisu
:<math>x = \frac{a_{23}^2+a_{13}^2-a_{22}a_{23}}{2a_{22}a_{13}}</math>
фокус има координате
fokus ima koordinate
:<math>F = \left[\frac{a_{23}^2-a_{13}^2-a_{22}a_{33}}{2a_{22}a_{13}},\;-\frac{a_{23}}{a_{22}}\right]</math>
а координате врха су
a koordinate vrha su
:<math>V = \left[\frac{a_{23}^2-a_{22}a_{33}}{2a_{22}a_{13}},\;-\frac{a_{23}}{a_{22}}\right]</math>
Параметар има вредност
Parametar ima vrijednost
:<math>|p| = \left|\frac{a_{13}}{a_{22}}\right|</math>
 
Слично у случају <math>a_{12}=a_{22}=0</math> и <math>a_{11}a_{23}\neq 0</math> добија се парабола у нормалном положају (оса параболе је паралелна с осом <math>y</math>). За директрису, фокус, врх и параметар добија асе
Slično u slučaju <math>a_{12}=a_{22}=0</math> i <math>a_{11}a_{23}\neq 0</math> dobijamo parabolu u normalnom položaju (osa parabole je paralelna s osom <math>y</math>). Za direktrisu, fokus, vrh i parametar dobijamo
:<math>y = \frac{a_{13}^2+a_{23}^2-a_{11}a_{13}}{2a_{11}a_{23}}</math>
:<math>F = \left[-\frac{a_{13}}{a_{11}},\; \frac{a_{13}^2-a_{23}^2-a_{11}a_{33}}{2a_{11}a_{23}}\right]</math>
:<math>V = \left[-\frac{a_{13}}{a_{11}},\; \frac{a_{13}^2-a_{11}a_{33}}{2a_{11}a_{23}}\right]</math>
:<math>|p| = \left|\frac{a_{23}}{a_{11}}\right|</math>
 
Парабола се из општег до нормалног положаја може превести [[Rotaciono kretanje čvrstog tela|ротацијом]] координатног система о [[угао]] <math>\alpha</math> датог изразом
Parabolu iz općeg do normalnog položaja se može prevesti [[rotacija (geometrija)|rotacijom]] koordinatnog sistema o [[ugao]] <math>\alpha</math> datim izrazom
:<math>\operatorname{tg}2\alpha = \frac{2a_{12}}{a_{11}-a_{22}}</math>
 
===== Карактеристике параболе у односу на њен положај =====
===== Karakteristike parabole u odnosu na njen položaj =====
* OsaОса paraboleпараболе <math>o</math> je paralelna s osom <math>x</math> imajućiимајући minimumминимум (tačkaтачка -{V}-) naна osiоси <math>x</math>.
[[Datoteka:Parabola_kartezsky_system_vpravo.GIF|thumb|right|250px|ParabolaПарабола uу DescartesovomДекартовом koordinatnomкоординатном sistemuсистему usmjerenaусмерена kaка pozitivnomпозитивном djeluделу oseосе x]]
:''TjemenaТемена jednačinaједначина'':
:: <math>(y - n)^2 = 2p(x - m) \,\!</math>
:''Параметарска једначина'':
:''Parametarska jednačina'':
:: <math>x = {p\over 2}t^2 + m \,\!</math><br />
:: <math>y = pt + n \,\!</math>
:''OpćaОшшта jednačinaједначина'':
:: <math>y^2 + Ax + By + C = 0, A \ne 0 \,\!</math>
:''Једначина директрисе'':
:''Jednačina direktrise'':
:: <math>x = m - {p\over 2} \,\!</math>
:''JednačinaЈедначина [[tangentaтангента|tangenteтангенте]] uу tačkiтачки <math>T[x_0, y_0]</math>:
:: <math>(y - n)(y_0 - n) = p(x + x_0 - 2m) \,\!</math>
 
OsaОса paraboleпараболе <math>o</math> jeје paralelnaпаралелна sса osoomосом <math>x</math> imajućiимајући максимум maximum(tačkaтачка -{V}-) naна osiоси <math>x</math>.<br />
[[Datoteka:Parabola_kartezsky_system_vlevo.GIF|thumb|right|250px|ParabolaПарабола uу DescartesovomДекартовом koordinatnomкоординатном sistemuсистему usmjerenaусмерена kaка negativnomнегативном dijeluделу oseосе ''x'']]
:''TjemenaТемена jednačinaједначина'':
:: <math>(y - n)^2 = -2p(x - m) \,\!</math>
:''Параметарска једначина'':
:''Parametarska jednačina'':
:: <math>x = -{p\over 2}t^2 + m \,\!</math><br />
:: <math>y = -pt + n \,\!</math>
:''OpćaОпшта jednačinaједначина'':
:: <math>y^2 + Ax + By + C = 0, A \ne 0</math>
:''Једначина директрисе'':
:''Jednačina direktrise'':
:: <math>x = m + {p\over 2} \,\!</math>
:''JednačinaJедначина [[tangentaтангента|tangenteтангенте]] uу [[tačkaТачка (геометрија)|tačkiтачки]] <math>T[x_0, y_0]</math>'':
:: <math>(y - n)(y_0 - n) = -p(x + x_0 - 2m) \,\!</math>
 
* OsaОса paraboleпараболе <math>o</math> jeје paralelnaпаралелна sса osomосом <math>y</math> imajućiимајући minimumминимум. KonveksnaКонвексна parabolaпарабола.
[[DatotekaДатотека:Parabola_kartezsky_system_nahore.GIF|thumb|right|250px|ParabolaПарабола uу DescartesovomДекартовом koordinatnomкоординатном sistemuсистему usmjerenaусмерена kaка pozitivnomпозитивном djeluделу ''y'']]
:''TjemenaТемена jednačinaједначина'':
:: <math>(x - m)^2 = 2p(y - n) \,\!</math>
:''Параметарска једначина'':
:''Parametarska jednačina'':
:: <math>x = pt + m \,\!</math><br />
:: <math>y = {p\over 2}t^2 + n \,\!</math>
:''OpćaОпшта jednačinaједначина'':
:: <math>x^2 + Ax + By + C = 0, B \ne 0</math>
:''Једначина директрисе'':
:''Jednačina direktrise'':
:: <math>y = n - {p\over 2} \,\!</math>
:''JednačinaЈедначина tangenteтангенте uу tačkiтачки <math>T[x_0, y_0]</math>'':
:: <math>(x - m)(x_0 - m) = p(y + y_0 - 2n) \,\!</math>
 
* OsaОса paraboleпараболе <math>o</math> jeје paralelnaпаралелна sс osomосом <math>y</math> imajućiимајући maksimumмаксимум. KonkavnaКонкавна parabolaпарабола.
[[DatotekaДатотека:Parabola_kartezsky_system_dole.GIF|thumb|right|250px|ParabolaПарабола uу DescartesovomДекартовом koordinatnomкоординатном sistemuсистему usmjerenaусмерена kaка pozitivnomпозитивном djeluделу ''y'']]
:''TjemenaТемена jednačinaједначина'':
:: <math>(x - m)^2 = -2p(y - n) \,\!</math>
:''Параметарска једначина'':
:''Parametarska jednačina'':
:: <math>x = -pt + m \,\!</math><br />
:: <math>y = -{p\over 2}t^2 + n \,\!</math>
:''OpćaОпшта jednačinaједначина'':
:: <math>x^2 + Ax + By + C = 0, B \ne 0</math>
:''Једначина директрисе'':
:''Jednačina direktrise'':
:: <math>y = n + {p\over 2} \,\!</math>
:''JednačinaЈедначина [[tangenta|tangenteтангенте]] uу tačkiтачки <math>T[x_0, y_0]</math>:
:: <math>(x - m)(x_0 - m) = -p(y + y_0 - 2n) \,\!</math>
 
=====UzajamniУзајамни odnosоднос paraboleпараболе iи praveправе =====
Ако се реши [[систем једначина]] параболе и [[Права (геометрија)|праве]].
Riješimo [[sistem jednačina]] parabole i [[Prava (geometrija)|prave]].
Уколико се добије линеарна једначину, која има решења - права сече параболу у једној тачки.
Ukoliko dobijemo linearnu jednačinu, koja ima rješenja - prava siječe parabolu u jednoj tački.
Уколико линеарна једначина нема решења - права и парабола се мимоилазе.
Ukoliko linearna jednačina nema rješenja - prava i parabola se mimoilaze.
Уколико се добије [[квадратна једначина]] и [[Discriminant|дискриминанта]] <math>D</math> је:
Ukoliko dobijemo [[kvadratna jednačina|kvadratnu jednačinu]] i [[diskriminanta]] <math>D</math> je:
* -{D}- > 0 два решења - права сече параболу у две тачке
* D > 0 dva rješenja - prava siječe parabolu u dvije tačke
* -{D}- = 0 једно решење - права је параболи тангента
* D = 0 jedno rješenje - prava je paraboli tangenta
* -{D}- < 0 нема решења - права и парабола се мимоилазе
* D < 0 nema rješenja - prava i parabola se mimoilaze
 
==== PolarniПоларни koordinatniкоординатни sistemсистем ====
Парабола с фокусом у почетку координатног система и с врхом на негативној полуоси x записује се помоћу једначине:
Parabola s fokusom u početku koordinatnog sistema i s vrhom na negativnoj poluosi x zapisuje se pomoću jednačine:
: <math>r (1 - \cos \varphi) = p \,</math>
gdjeгде <math>p>0</math> jeје parameterпараметер paraboleпараболе.
 
Из тог је видљиво, да параметар параболе има такође значење половине дужине тзв. -{[[Конусни пресек|latus rectum]]}-, тако да је и [[Тетива (геометрија)|тетива]] конусног пресека нормална на главну осу у фокусу <math>F</math>. Код параболе се та вредност изједначава са четвероструком дужином фокусне удаљености.
Iz tog je vidljivo, da parametar parabole ima također značenje polovine dužine tzv. [[:en:latus rectum|latus rectum]], tako da je i [[Tetiva (geometrija)|tetiva]] konusnog presjeka okomita na glavnu osu u fokusu <math>F</math>. Kod parabole se ta vrijednost izjednačava sa četverostrukom dužinom fokusne udaljenosti.
 
Поларном једначином је могуће доказати, да парабола настане кружном инверзијом [[Кардиоида|кардиоде]].<ref>{{cite book | author=R.C. Yates | title=A Handbook on Curves and Their Properties | location=Ann Arbor, MI | publisher=J. W. Edwards | pages=4 ff.|chapter=Cardioid|year=1952 }}</ref>
Polarnom jednačinom je moguće dokazati, da parabola nastane kružnom inverzijom [[kardioda|karadiode]].
 
== Parabola u realnom svijetu==
Преузето из „https://sr.wikipedia.org/wiki/Парабола”