Механички рад — разлика између измена
Садржај обрисан Садржај додат
м Враћене измене 62.240.24.109 (разговор) на последњу измену корисника Filipović Zoran ознака: враћање |
. |
||
Ред 1:
{{друго значење2|Рад}}
{{Short description|Процес преноса енергије на објекат применом силе}}
{{Infobox physical quantity
| bgcolour={blue}
| name = Рад
| image = [[File:Baseball pitching motion 2004.jpg|250px]]
| caption = Бацач у [[бејзбол]]у позитивно делује на лопту примењујући на њу силу на растојању на коме се креће.
| basequantities = -{1 [[kilogram|kg]]⋅[[metre|m]]<sup>2</sup>⋅[[second|s]]<sup>−2</sup>}-
| unit = [[џул]] (-{J}-)
| otherunits = [[Foot-pound (energy)|стопа-фунта]], [-{[Erg]]}-
| symbols = ''W''
| dimension = -{'''M''' '''L'''<sup>2</sup> '''T'''<sup>−2</sup>}-
| derivations = -{''W'' = '''[[сила|F]]''' ⋅ '''[[Displacement (vector)|s]]'''}- <br />
''W'' = ''[[torque|τ]]'' ''[[angle|θ]]''
}}
'''Рад''' у [[Физика|физици]] је пренос [[Енергија|енергије]] из једног [[систем]]а у други. Овај пренос се у класичној [[Механика|механици]] врши деловањем [[Сила|силе]] дуж неког [[Пут (физика)|пута]]. Рад је у ствари једнак производу [[сила|силе]] и пређеног пута, ако сила делује у правцу померања тела. У [[Поље (физика)|пољу]] [[Конзервативна сила|конзервативне силе]] рад не зависи од облика пута, већ само од почетне и крајње тачке.
Рад је [[Скалар (
:<math>\mathrm{J = \frac{kg\, m^2}{s^2}}</math>
Линија 9 ⟶ 24:
== Математичка дефиниција ==
Једноставнији облик дефиниције рада је сведен на претпоставку константне вредности силе и праволинијске путање. Тада се механички рад може дефинисати као скаларни производ вектора силе и вектора помераја.
Линија 46 ⟶ 62:
<math>A = F \cdot h = 98,1 \cdot 1,5 = 147,15 J</math>
== Специјални случај „сила пута пут” ==
{{rut}}
'''Најједноставнија формула за рад силе''', која је најбоље полазиште за разумевање појма рада, вреди нпр. у случају када константна сила делује на тело које се транслацијски (тј. без ротације) креће у смеру њеног деловања. Тада је (као што произлази и из горњег интеграла):
:<math>W=Fs\,</math>
gdje je ''F'' iznos sile, dok je ''s'' pređeni put. Na taj se slučaj odnosi definicija iz osnovne škole "rad je sila puta put", koja ne uzima u obzir da je sila [[vektor]] (što je ovdje irelevantno zato što su i sila i gibanje u istom smjeru koji se ne mijenja), niti precizira da treba promatrati put hvatišta sile (jer se sve točke tijela jednako gibaju, pa može biti i "put tijela"). Npr. ako sila od 5 [[njutn|N]] vuče tijelo na putu od 3 [[metar|m]], ona izvrši rad ''W'' = ''Fs'' = 5 N ∙ 3 m = 15 J. Odatle se vidi da je [[SI]] [[mjerna jedinica]] za rad, [[džul]] (J), skraćenica za umnožak "Nm".
Ipak, ova jednostavna formula nije ograničena samo na pravocrtno gibanje. Ona vrijedi uvijek kada se iznos sile ne mijenja, a hvatište sile se giba točno u smjeru djelovanja sile (koji se može po volji mijenjati).
== Закон о промени кинетичке енергије ==
Однос рада и промене енергије кључна је одредница за разумевање дефиниције рада силе. Ако је у претходном једноставном примеру сила ''F'' jedina sila koja djeluje na tijelo mase ''m'' koje je do tada mirovalo (nije imalo [[kinetička energija|kinetičke energije]]), tijelo na putu ''s'' ima stalnu [[akceleracija|akceleraciju]] ''a'' = ''F''/''m'' i giba se jednoliko ubrzano, te na kraju puta ''s'' = ''at''<sup>2</sup>/2 postiže [[brzina|brzinu]] ''v'' = ''at''. Odatle se lako vidi da je rad sile jednak kinetičkoj energiji koju tijelo dobije na tom putu:
:<math>W=Fs=ma\frac{at^2}{2}=m\frac{(at)^2}{2}=\frac{mv^2}{2}=E_k</math>
Poopćenje tog rezultata (moglo bi se dobiti iz opće formule za rad sile, uz malo više računa) zove se zakon o promjeni kinetičke energije: rad svih sila koje djeluju na kruto tijelo jednak je promjeni njegove kinetičke energije. Pritom treba imati na umu da kinetička energija tijela ne mora biti samo translacijska (kako je opisana u gornjem jednostavnom primjeru), nego može imati i rotacijski dio (osim u slučaju čestice, tj. tijela zanemarivih dimenzija).
== Објашњење дефиниције рада силе ==
Објашњење опште формуле за рад силе полази од описане везе с енергијом: формула је конструирана управо тако да промена кинетичке енергије буде једнака укупном раду свих сила.
=== Значај тангенцијалне компоненте силе ===
[[Датотека:Tangential and normal component of force.jpg|thumb|desno|Rastav sile na tangencijalnu i normalnu vektorsku komponentu]]
Prva posljedica te veze jest da sila koja djeluje na česticu okomito na smjer njezinoga gibanja (kaže se: normalna sila; primjer: [[centripetalna sila]]) ne vrši rad - jer ne mijenja iznos brzine (nego samo njezin smjer) pa ne utječe na kinetičku energiju čestice. Sila koja leži na pravcu gibanja čestice (kaže se: tangencijalna sila) vrši pozitivan rad ako je u smjeru gibanja jer povećava brzinu a time i kinetičku energiju čestice, odnosno negativan rad ako je u suprotnom smjeru od gibanja jer umanjuje kinetičku energiju. Zato se proizvoljni vektor sile <sup><math>\scriptstyle\vec F</math></sup> prikaže kao zbroj tangencijalne i normalne sile (formalnije rečeno: rastavi na tangencijalnu i normalnu vektorsku komponentu), od čega se za izračun rada koristi samo tangencijalna. Pritom je ''F'' cos α tangencijalna skalarna komponenta vektora sile <sup><math>\scriptstyle\vec F</math></sup>, tj. to je broj koji je jednak iznosu tangencijalne vektorske komponente sile ako je ona u smjeru gibanja, odnosno njezinom negativnom iznosu ako je u suprotnom smjeru (što daje i odgovarajući predznak rada).
=== Uloga hvatišta sile ===
Računanje rada pomoću puta koji prelazi hvatište sile (dok druge točke tijela mogu prelaziti različite puteve) također je posljedica opisane veze s energijom. Sila ku te brzine računa se translacijska kinetička energija tijela. Ako pravac djelovanja sile ne prolazi kroz centar masa, osim opisanoga učinka sila daje tijelu i kutnu akceleraciju α, pa mu mijenja i rotacijsku kinetičku energiju. Tada sila mora vršiti veći rad nego kad djeluje na centar masa, a to se dešava zato što njezino hvatište prelazi veći put nego što je put centar masa (tj. "put tijela").
Zakon poluge još zornije dokazuje da se rad sile računa pomoću puta hvatišta sile: na većem kraku dovoljna je manja sila za isti rad zato što njezino hvatište prelazi veći put.
=== Promjenjivu silu treba integrirati ===
Rad sile možemo izračunati kao umnožak dvaju brojeva (komponente ''F'' cos α i puta njezinoga hvatišta ''s'') samo ako znamo koliko ti brojevi iznose, tj. ako se na odabranom putu tangencijalna skalarna komponenta sile ne mijenja. No, u općem slučaju sila može proizvoljno mijenjati iznos i smjer: tada se rad mora računati pomoću integrala, jer ne postoji jednostavniji postupak da se odredi prosječna vrijednost ''F'' cos α za računanje rada na nekom putu.
==== Tumačenje i primjer integrala rada ====
Postupak integriraranja može se najlakše razumjeti kao zamisao da se zbroje radovi promatrane sile po vrlo malim komadićima ukupnoga puta, tako malima da se sila na pojedinom komadiću "ne stigne" promijeniti. Naravno, sve dok je broj komadića konačan, sila će se na svakome bar malo promijeniti (ako se stalno mijenja), ali ta promjena može biti u tako dalekoj decimali da nas to u konačnom rezultatu uopće ne zanima (pa uzimamo bilo koju vrijednost s pojedinog komadića puta). Ako nije tako, podijelit ćemo put u još sitnije komadiće prije zbrajanja radova, sve dok ne dobijemo rezultat koji je točan u željenom broju znamenki (što se provjerava usporedbom s narednom još sitnijom razdiobom puta). Takav se postupak zove numeričko integriranje.
No, u mislima možemo nastaviti proces usitnjavanja u nedogled, znajući da bismo tako dobijali uzastopne rezultate sa sve većim brojem točnih znamenki. Integral je (ako postoji) onaj broj (granična vrijednost ili limes) kojemu se ti uzastopni zbrojevi sve manjih komadića rada sve više približavaju (uz dovoljno usitnjavanje puta, zbroj radova je po volji blizu granične vrijednosti). A kako pokazuje matematička analiza, tu točnu graničnu vrijednost možemo za mnoge konkretne sile izračunati na posve drugačiji način, pomoću pravila integriranja za pojedine vrste funkcija.
Na primjer, potencija se integrira tako da joj se eksponent uveća za 1, i potom se podijeli s novim eksponentom. Za rastezanje elastične opruge (učvršćene na drugom kraju) potrebna je sila ''F'' = ''ks'' promjenjljivog iznosa i u smjeru rastezanja, gdje je ''k'' konstanta opruge, dok je ''s'' produljenje (potencija ''s'' na prvu), tj. put što ga je prešlo hvatište sile od nerastegnutog položaja ''s'' = 0. Da bi rastegnula oprugu za iznos ''A'', sila će izvršiti rad:
:<math>W=\int_{0}^{A}ks\,\mathrm{d}s=k\int_{0}^{A}s\,\mathrm{d}s=k\left[\frac{s^{2}}{2}\right]_{0}^{A}=\frac{kA^{2}}{2}</math>
Na znaku integrala (stilizirani rastegnuti znak sume, najavljuje zbrajanje "beskonačno mnogo beskonačno malih pribrojnika") donja i gornja granica označavaju početnu i završnu točku puta. Slijedi iznos sile ''ks'' (kosinusa nema jer je jednak 1), što se zove podintegralna funkcija. Integral završava diferencijalom puta d''s'' (kojega možemo smatrati "beskonačno malim komadićem puta"). (Standardna matematička analiza smatra ovakav "tehničarski" opis nekorektinim, ali noviji radovi pokazuju da ga je moguće i rigorozno opravdati.) U narednom koraku "vadi" se ispred integrala konstanta koja množi ostatak podintegralne funkcije, a potom se ''s''<sup>1</sup> integrira u ''s''<sup>2</sup>/2. U zadnjem koraku uvrste se, umjesto ''s'', granice integriranja: najprije gornja granica ''A'', od čega se oduzme isti izraz sa uvršenom donjom granicom (ovdje 0, pa se ne piše).
== Опис рада скаларним продуктом ==
Скаларним множењем два вектора добија се скалар који је једнак умношку њихових износа и косинуса угла међу њима. Ако је сила <sup><math>\scriptstyle\vec F</math></sup> konstantnog iznosa i smjera, a smjer pravocrtnog gibanja njezinog hvatišta zatvara stalni kut α sa smjerom sile, rad se može zapisati na dva načina:
:<math>W=Fs\cos\alpha=\vec F\cdot\vec d</math>
Drugi izraz označava [[skalarni produkt]] vektora sile i vektora pomaka <sup><math>\scriptstyle\vec d</math></sup> (engleski naziv množenja ''dot product'' potječe od točke koja se piše među vektorima). Pomak je usmjerena dužina koja "ide" od početne do završne točke puta na putanji hvatišta sile (opisuje koliko se i u kojemu smjeru ta točka "pomakla"). Jednakost navedenih izraza je očigledna iz definicije skalarnog produkta, budući da je u opisanom slučaju iznos pomaka jednak putu ''s''. No, može se dokazati da formula sa skalarnim produktom sile i pomaka vrijedi i za proizvoljni oblik putanje, uz uvjet da sila ne mijenja iznos i smjer.
Za proizvoljni oblik putanje hvatišta, potrebno je najprije matematički opisati krivulju duž koje se ta točka giba. Gibanje točke u cjelosti je opisano ako za svaki trenutak znademo njezine koordinate, npr. ''x''(''t''), ''y''(''t'') i ''z''(''t'') u pravokutnom Kartezijevom sistemu gdje ih možemo smatrati skalarnim komponentama vektora položaja (radij-vektora) <math>\scriptstyle\vec r(t)</math> te točke. Vektor položaja je usmjerena dužina kojoj je početak u ishodištu sistema a kraj (strelica) "prati" točku po putanji. Koordinate i vektor položaja često se pišu bez eksplicitne oznake ovisnosti o vremenu, jer se ona kod gibanja točke i tako podrazumijeva.
Kod takvog opisa gibanja, prikladnije je za vektor pomaka iz neke točke 1 u točku 2 koristiti oznaku <math>\scriptstyle \Delta \vec r</math> (ako znamo da <math>\scriptstyle \Delta</math> označava razliku odnosno promjenu) jer ona eksplicitno pokazuje da se pomak dobija oduzimanjem pripadnih vektora položaja: <math>\scriptstyle\Delta \vec{r}=\vec{r}_{2}-\vec{r}_{1}</math>, tj. da pomak možemo promatrati kao "promjenu položaja". Duljina putanje (pređeni put ''s'') na krivulji može biti znatno veća od iznosa vektora pomaka <math>\scriptstyle |\Delta \vec r|</math>. No, ako se promatraju sve manji pomaci (vremenski interval <math>\scriptstyle \Delta t</math> između promatranih položaja "teži" prema nuli; na skici je ilustriran početak graničnog procesa) iznosi puta i pomaka postaju sve više jednaki. Jednakost graničnih vrijednosti možemo zapisati pomoću diferencijala: <math>\scriptstyle |\mathrm{d}\vec r|=\mathrm{d}s</math>. Stoga se integral iz opće definicije za rad proizvoljne sile na proizvoljnom putu može kraće zapisati pomoću skalarnog produkta:
:<math>W=\int_{A}^{B}\vec F\cdot\mathrm{d}\vec r</math>
Uzimajući u obzir da je [[brzina]] <math>\scriptstyle \vec v</math> neke točke derivacija njezinog vektora položaja po vremenu (pa je <math>\scriptstyle \mathrm{d}\vec r=\vec v\mathrm{d}t</math>), može se taj integral prevesti u integral po vremenu:
:<math>W=\int_{A}^{B}\vec F\cdot\vec v\,\mathrm{d}t</math>
Podintegralna funkcija <math>\scriptstyle \vec F\cdot\vec v</math> je [[snaga]] sile. Budući da se snaga definira kao derivacija rada po vremenu, jasno je da rad mora biti jednak integralu snage po vremenu.
== Референце ==
Линија 51 ⟶ 122:
== Литература ==
{{refbegin}}
* {{Cite book|ref=harv|last=Jammer| first = Max | title = Concepts of Force | publisher = Dover Publications, Inc. |year=1957|isbn=978-0-486-40689-3|pages=}}
* {{cite book | author1=Serway, Raymond A. | author2=Jewett, John W. | title=Physics for Scientists and Engineers | edition=6th | publisher=Brooks/Cole | year=2004 | isbn=0-534-40842-7 | url-access=registration | url=https://archive.org/details/physicssciengv2p00serw }}
* {{cite book | author=Tipler, Paul | title=Physics for Scientists and Engineers: Mechanics| edition=3rd ed., extended version | publisher=W. H. Freeman | year=1991 | isbn=0-87901-432-6}}
{{refend}}
== Спољашње везе ==
{{Commonscat|Work (physics)}}
* -{[https://web.archive.org/web/20120530075449/http://faculty.wwu.edu/vawter/PhysicsNet/Topics/Work/WorkEngergyTheorem.html Work–energy principle]}-
{{Authority control}}
[[Категорија:Механика]]
| |||