Механички рад — разлика између измена

 
=== Значај тангенцијалне компоненте силе ===
[[Датотека:Tangential and normal component of force.jpg|thumb|desnoдесно|RastavДекомпозиција sileсиле naна tangencijalnuтангенцијалну iи normalnuнормалну vektorskuвекторску komponentuкомпоненту]]
 
Прва последица те везе јесте да сила која делује на честицу окомито на смер њеног кретања (каже се: нормална сила; пример: [[центрипетална сила]]) не врши рад - јер не мења износ брзине (него само њен смер) те не утиче на кинетичку енергију честице. Сила која лежи на правцу кретања честице (каже се: тангенцијална сила) врши позитиван рад ако је у смеру кретања, јер повећава брзину а тиме и кинетичку енергију честице, односно негативан рад ако је у супротном смеру од кретања, јер умањује кинетичку енергију. Зато се произвољни вектор силе <sup><math>\scriptstyle\vec F</math></sup> прикаже као збир тангенцијалне и нормалне силе (формалније речено: растави на тангенцијалну и нормалну векторску компоненту), од чега се за прорачун рада користи само тангенцијална. Притом је -{''F'' cos}- &alpha; тангенцијална скаларна компонента вектора силе <sup><math>\scriptstyle\vec F</math></sup>, тј. то је број који је једнак износу тангенцијалне векторске компоненте силе ако је она у смеру кретања, односно њезином негативном износу ако је у супротном смеру (што даје и одговарајући предзнак рада).
Prva posljedica te veze jest da sila koja djeluje na česticu okomito na smjer njezinoga gibanja (kaže se: normalna sila; primjer: [[centripetalna sila]]) ne vrši rad - jer ne mijenja iznos brzine (nego samo njezin smjer) pa ne utječe na kinetičku energiju čestice. Sila koja leži na pravcu gibanja čestice (kaže se: tangencijalna sila) vrši pozitivan rad ako je u smjeru gibanja jer povećava brzinu a time i kinetičku energiju čestice, odnosno negativan rad ako je u suprotnom smjeru od gibanja jer umanjuje kinetičku energiju. Zato se proizvoljni vektor sile <sup><math>\scriptstyle\vec F</math></sup> prikaže kao zbroj tangencijalne i normalne sile (formalnije rečeno: rastavi na tangencijalnu i normalnu vektorsku komponentu), od čega se za izračun rada koristi samo tangencijalna. Pritom je ''F'' cos &alpha; tangencijalna skalarna komponenta vektora sile <sup><math>\scriptstyle\vec F</math></sup>, tj. to je broj koji je jednak iznosu tangencijalne vektorske komponente sile ako je ona u smjeru gibanja, odnosno njezinom negativnom iznosu ako je u suprotnom smjeru (što daje i odgovarajući predznak rada).
 
=== UlogaУлога hvatištaхватишта sileсиле ===
Рачунање рада помоћу пута који прелази хватиште силе (док друге тачке тела могу прелазити различите путеве) такође је последица описане везе с енергијом. Сила при тој брзини се рачуна као транслацијска кинетичка енергија тела. Ако правац деловања силе не пролази кроз центар масе, осим описаног учинка сила даје телу и угаоно убрзање &alpha;, те му мења и ротацијску кинетичку енергију. Тада сила мора вршити већи рад него кад делује на центар маса, а то се дешава зато што њено хватиште прелази већи пут него што је пут центар маса (тј. „пут тела”).
Računanje rada pomoću puta koji prelazi hvatište sile (dok druge točke tijela mogu prelaziti različite puteve) također je posljedica opisane veze s energijom. Sila ku te brzine računa se translacijska kinetička energija tijela. Ako pravac djelovanja sile ne prolazi kroz centar masa, osim opisanoga učinka sila daje tijelu i kutnu akceleraciju &alpha;, pa mu mijenja i rotacijsku kinetičku energiju. Tada sila mora vršiti veći rad nego kad djeluje na centar masa, a to se dešava zato što njezino hvatište prelazi veći put nego što je put centar masa (tj. "put tijela").
Закон полуге још јасније доказује да се рад силе рачуна помоћу пута хватишта силе: на већем краку довољна је мања сила за исти рад зато што њено хватиште прелази већи пут.
Zakon poluge još zornije dokazuje da se rad sile računa pomoću puta hvatišta sile: na većem kraku dovoljna je manja sila za isti rad zato što njezino hvatište prelazi veći put.
 
=== Промењиву силу треба интегрисати ===
=== Promjenjivu silu treba integrirati ===
Рад силе се може израчунати као умножак два броја (компоненте -{''F'' cos}- &alpha; и пута њезинога хватишта -{''s''}-) само ако се зна колико ти бројеви износе, тј. ако се на одабраном путу тангенцијална скаларна компонента силе не мења. Но, у општем случају сила може произвољно мењати износ и смер: тада се рад мора рачунати помоћу интеграла, јер не постоји једноставнији поступак да се одреди просечна вредност -{''F'' cos}- &alpha; за рачунање рада на неком путу.
Rad sile možemo izračunati kao umnožak dvaju brojeva (komponente ''F'' cos &alpha; i puta njezinoga hvatišta ''s'') samo ako znamo koliko ti brojevi iznose, tj. ako se na odabranom putu tangencijalna skalarna komponenta sile ne mijenja. No, u općem slučaju sila može proizvoljno mijenjati iznos i smjer: tada se rad mora računati pomoću integrala, jer ne postoji jednostavniji postupak da se odredi prosječna vrijednost ''F'' cos &alpha; za računanje rada na nekom putu.
 
==== Тумачење и пример интеграла рада ====
==== Tumačenje i primjer integrala rada ====
Поступак интегрисања може се најлакше разумети као замсли да се сабирају радови проматране силе по врло малим комадима укупнога пута, тако малима да се сила на поједином комадићу „не стигне” да се промени. Наравно, све док је број комадића коначан, сила ће се на свакоме бар мало променити (ако се стално мења), али та промена може бити у тако далекој децимали да је то у коначном резултату занемарљиво (те се узима било која вредност с појединог комадића пута). Ако то није случај, пут се може подијелити у још ситније комадиће пре збрајања радова, све док не добије резултат који је тачан у жељеном броју децималних места (што се проверава поређењем с наредном још ситнијом раздеобом пута). Такав се поступак зове [[Numerička integracija|нумеричко интегрисање]].
Postupak integriraranja može se najlakše razumjeti kao zamisao da se zbroje radovi promatrane sile po vrlo malim komadićima ukupnoga puta, tako malima da se sila na pojedinom komadiću "ne stigne" promijeniti. Naravno, sve dok je broj komadića konačan, sila će se na svakome bar malo promijeniti (ako se stalno mijenja), ali ta promjena može biti u tako dalekoj decimali da nas to u konačnom rezultatu uopće ne zanima (pa uzimamo bilo koju vrijednost s pojedinog komadića puta). Ako nije tako, podijelit ćemo put u još sitnije komadiće prije zbrajanja radova, sve dok ne dobijemo rezultat koji je točan u željenom broju znamenki (što se provjerava usporedbom s narednom još sitnijom razdiobom puta). Takav se postupak zove numeričko integriranje.
 
Процес уситњавања се може мисаоно наставити у недоглед, знајући да се тако добијају узастопни резултати са све већим бројем тачних цифара. Интеграл је (ако постоји) онај број (гранична вредност или лимес) којим се ти узастопни збирови све мањих комадића рада све више приближавају (уз довољно уситњавање пута, зброј радова је по вољи близу граничне вредности). А како показује математичка анализа, та тачна гранична вредност се може за многе конкретне силе израчунати на посве другачији начин, помоћу правила интегрисања за поједине врсте функција. На пример, рад се интегрише тако што се експонент увећа за 1, и потом се подели с новим експонентом. За растезање еластичне опруге (учвршћене на другом крају) потребна је сила -{''F'' = ''ks''}- промењљивог износа и у смеру растезања, где је -{''k''}- константа опруге, док је -{''s''}- продужење (потенцијал -{''s''}- на прву), тј. пут што га је прешло хватиште силе од нерастегнутог положаја -{''s''}- = 0. Да би растегнула опругу за износ -{''A''}-, сила ће извршити рад:
No, u mislima možemo nastaviti proces usitnjavanja u nedogled, znajući da bismo tako dobijali uzastopne rezultate sa sve većim brojem točnih znamenki. Integral je (ako postoji) onaj broj (granična vrijednost ili limes) kojemu se ti uzastopni zbrojevi sve manjih komadića rada sve više približavaju (uz dovoljno usitnjavanje puta, zbroj radova je po volji blizu granične vrijednosti). A kako pokazuje matematička analiza, tu točnu graničnu vrijednost možemo za mnoge konkretne sile izračunati na posve drugačiji način, pomoću pravila integriranja za pojedine vrste funkcija.
Na primjer, potencija se integrira tako da joj se eksponent uveća za 1, i potom se podijeli s novim eksponentom. Za rastezanje elastične opruge (učvršćene na drugom kraju) potrebna je sila ''F'' = ''ks'' promjenjljivog iznosa i u smjeru rastezanja, gdje je ''k'' konstanta opruge, dok je ''s'' produljenje (potencija ''s'' na prvu), tj. put što ga je prešlo hvatište sile od nerastegnutog položaja ''s'' = 0. Da bi rastegnula oprugu za iznos ''A'', sila će izvršiti rad:
:<math>W=\int_{0}^{A}ks\,\mathrm{d}s=k\int_{0}^{A}s\,\mathrm{d}s=k\left[\frac{s^{2}}{2}\right]_{0}^{A}=\frac{kA^{2}}{2}</math>
 
На знаку интеграла (стилизовани растегнути знак суме, најављује сабирање „бесконачно много бесконачно малих сабирака”) доња и горња граница означавају почетну и завршну тачку пута. Следи износ силе -{''ks''}- (косинуса нема, јер је једнак 1), што се зове подинтегрална функција. Интеграл се завршава диференцијалом пута -{d''s''}- (који се може сматрати „бесконачно малим комадићем пута”). (Стандардна математичка анализа сматра овакав „техничарски” опис некоректиним, али новији радови показују да се може ригорозно оправдати.) У наредном кораку „вади” се испред интеграла константа која множи остатак подинтегралне функције, а потом се -{''s''}-<sup>1</sup> интегрише у -{''s''}-<sup>2</sup>/2. У задњем кораку уврсте се, уместо -{''s''}-, границе интегрисања: најпре горња граница -{''A''}-, од чега се одузме исти израз са увршеном доњом границом (овде 0, те се не пише).
Na znaku integrala (stilizirani rastegnuti znak sume, najavljuje zbrajanje "beskonačno mnogo beskonačno malih pribrojnika") donja i gornja granica označavaju početnu i završnu točku puta. Slijedi iznos sile ''ks'' (kosinusa nema jer je jednak 1), što se zove podintegralna funkcija. Integral završava diferencijalom puta d''s'' (kojega možemo smatrati "beskonačno malim komadićem puta"). (Standardna matematička analiza smatra ovakav "tehničarski" opis nekorektinim, ali noviji radovi pokazuju da ga je moguće i rigorozno opravdati.) U narednom koraku "vadi" se ispred integrala konstanta koja množi ostatak podintegralne funkcije, a potom se ''s''<sup>1</sup> integrira u ''s''<sup>2</sup>/2. U zadnjem koraku uvrste se, umjesto ''s'', granice integriranja: najprije gornja granica ''A'', od čega se oduzme isti izraz sa uvršenom donjom granicom (ovdje 0, pa se ne piše).
 
== Опис рада скаларним продуктом ==