|
== Опис рада скаларним продуктом ==
Скаларним множењем два вектора добија се скалар који је једнак умношку њихових износа и косинуса угла међу њима. Ако је сила <sup><math>\scriptstyle\vec F</math></sup> konstantnogконстантног iznosaизноса iи smjeraсмера, aа smjerсмер pravocrtnogправолинијског gibanjaкретања njezinogњезиног hvatištaхватишта zatvaraзатвара stalniстални kutугао α saса smjeromсмером sileсиле, radрад seсе možeможе zapisatiзаписати naна dvaдва načinaначина:
:<math>W=Fs\cos\alpha=\vec F\cdot\vec d</math>
Други израз означава [[скаларни продукт]] вектора силе и вектора помака <sup><math>\scriptstyle\vec d</math></sup> (енглески назив множења -{''dot product''}- потиче од тачке која се пише међу векторима). Помак је усмерена дужина која „иде” од почетне до завршне тачке пута на путањи хватишта силе (описује колико се и у којем смеру та тачка „помакла”). Једнакост наведених израза је очигледна из дефиниције скаларног продукта, будући да је у описаном случају износ помака једнак путу -{''s''}-. Може се показати да формула са скаларним продуктом силе и помака вреди и за произвољни облик путање, уз услов да сила не мења износ и смер.
Drugi izraz označava [[skalarni produkt]] vektora sile i vektora pomaka <sup><math>\scriptstyle\vec d</math></sup> (engleski naziv množenja ''dot product'' potječe od točke koja se piše među vektorima). Pomak je usmjerena dužina koja "ide" od početne do završne točke puta na putanji hvatišta sile (opisuje koliko se i u kojemu smjeru ta točka "pomakla"). Jednakost navedenih izraza je očigledna iz definicije skalarnog produkta, budući da je u opisanom slučaju iznos pomaka jednak putu ''s''. No, može se dokazati da formula sa skalarnim produktom sile i pomaka vrijedi i za proizvoljni oblik putanje, uz uvjet da sila ne mijenja iznos i smjer.
За произвољни облик путање хватишта, потребно је најпре математички описати кривуљу дуж које се та тачка креће. Кретање тачке у целости је описано ако за сваки тренутак знају њене координате, нпр. -{''x''(''t'')}-, -{''y''(''t'')}- и -{''z''(''t'')}- у правоугаоном Картезијевом систему где се можу сматрати скаларним компонентама вектора положаја (радијус вектора) <math>\scriptstyle\vec r(t)</math> те тачке. Вектор положаја је усмерена дужина којој је почетак у ишодишту система а крај (стрелица) „прати” тачку по путањи. Координате и вектор положаја често се пишу без експлицитне ознаке зависности од времена, јер се она код кретања тачке и тако подразумева.
Za proizvoljni oblik putanje hvatišta, potrebno je najprije matematički opisati krivulju duž koje se ta točka giba. Gibanje točke u cjelosti je opisano ako za svaki trenutak znademo njezine koordinate, npr. ''x''(''t''), ''y''(''t'') i ''z''(''t'') u pravokutnom Kartezijevom sistemu gdje ih možemo smatrati skalarnim komponentama vektora položaja (radij-vektora) <math>\scriptstyle\vec r(t)</math> te točke. Vektor položaja je usmjerena dužina kojoj je početak u ishodištu sistema a kraj (strelica) "prati" točku po putanji. Koordinate i vektor položaja često se pišu bez eksplicitne oznake ovisnosti o vremenu, jer se ona kod gibanja točke i tako podrazumijeva.
KodКод takvogтаквог opisaописа gibanjaкретања, prikladnijeприкладније jeје zaза vektorвектор pomakaпомака izиз nekeнеке točkeтачке 1 uу točkuтачку 2 koristitiкористити oznakuознаку <math>\scriptstyle \Delta \vec r</math> (akoако се znamoзна daда <math>\scriptstyle \Delta</math> označavaозначава razlikuразлику odnosnoодносно promjenuпромену) jerјер onaона eksplicitnoексплицитно pokazujeпоказује daда seсе pomakпомак dobijaдобија oduzimanjemодузимањем pripadnihприпадних vektoraвектора položajaположаја: <math>\scriptstyle\Delta \vec{r}=\vec{r}_{2}-\vec{r}_{1}</math>, tjтј. daда pomakсе možemoпомак promatratiможе kaoпроматрати "promjenuкао položaja"„промену положаја”. DuljinaДужина putanjeпутање (pređeniпређени putпут -{''s''}-) na krivulji može biti znatno veća od iznosa vektora pomaka <math>\scriptstyle |\Delta \vec r|</math>. No,Ако akoсе seпроматрају promatrajuсве sveмањи manji pomaciпомаци (vremenskiвременски intervalинтервал <math>\scriptstyle \Delta t</math> izmeđuизмеђу promatranihпроматраних položajaположаја "težiтежи" premaпрема nuliнули; naна skiciскици jeје ilustriranилустрован početakпочетак graničnogграничног procesaпроцеса) iznosiизноси putaпута iи pomakaпомака postajuпостају sveсве višeвише jednakiједнаки. JednakostЈеднакост граничних graničnihвредности vrijednostiможе možemoсе zapisatiзаписати pomoćuпомоћу diferencijalaдиференцијала: <math>\scriptstyle |\mathrm{d}\vec r|=\mathrm{d}s</math>. StogaСтога seсе integralинтеграл izиз općeопште definicijeдефиниције zaза radрад proizvoljneпроизвољне sileсиле naна proizvoljnomпроизвољном putuпуту možeможе kraćeкраће zapisatiзаписати pomoćuпомоћу skalarnogскаларног produktaпродукта:
:<math>W=\int_{A}^{B}\vec F\cdot\mathrm{d}\vec r</math>
UzimajućiУзимајући uу obzirобзир daда jeје [[brzinaбрзина]] <math>\scriptstyle \vec v</math> nekeнеке točkeтачке derivacijaдеривација njezinogњезиног vektoraвектора položajaположаја poпо vremenuвремену (paте jeје <math>\scriptstyle \mathrm{d}\vec r=\vec v\mathrm{d}t</math>), možeможе seсе tajтај integralинтеграл prevestiпревести uу integralинтеграл poпо vremenuвремену:
:<math>W=\int_{A}^{B}\vec F\cdot\vec v\,\mathrm{d}t</math>
PodintegralnaПодинтегрална funkcijaфункција <math>\scriptstyle \vec F\cdot\vec v</math> jeје [[snagaснага]] sileсиле. BudućiБудући daда seсе snagaснага definiraдефинише kaoкао derivacijaдеривација radaрада poпо vremenuвремену, jasnoјасно jeје daда radрад moraмора bitiбити jednakједнак integraluинтегралу snageснаге poпо vremenuвремену.
== Референце ==
| 