Википедија

Рационалан број — разлика између измена

Интерактиван преглед историје
← Старија изменаНовија измена →
Садржај обрисан Садржај додат
ВизуелноВикитекст
Ред 1:
{{Short description|Количник два цела броја}}{{rut}}
{{друга употреба|Број (вишезначна одредница)}}
[[File:U%2B211A.svg|right|thumb|120px|AСимбол symbolза forскуп theрационалних set of rational numbersбројева]]
[[File:Number-systems.svg|thumb|250px|TheРационални rational numbersбројеви (<math>\mathbb{Q}</math>) areсу includedукључени in theу [[real numbers|реалне бројеве]] (<math>\mathbb{R}</math>), whileдок themselvesсами including theобухватају [[integers|целе бројеве]] (<math>\mathbb{Z}</math>), whichкоји in turn include theобухватају [[natural numbers|природне бројеве]] (<math>\mathbb{N}</math>)]]
 
У [[mathematics|математици]], '''рационалан број''' (понекад у разговору употребљавамо '''разломак''') је [[number|број]] који се може записати као [[quotient|однос]] два цела броја ''a''/''b'', где ''b'' није [[0 (број)|нула]]. <ref name="Rosen">{{cite book |last = Rosen |first=Kenneth |title=Discrete Mathematics and its Applications |year=2007 |edition=6th |publisher=McGraw-Hill |location=New York, NY|isbn=978-0-07-288008-3 |pages=105, 158–160}}</ref> ForНа exampleпример, {{math|{{sfrac|−3|7}}}} isје aрационалан rational numberброј, asкао isи everyсваки integerцео број (e.gнпр. {{math|5 {{=}} {{sfrac|5|1}}}}). The [[set (mathematics)|setСкуп]] ofсвих allрационалних rational numbersбројева, alsoкоји referredсе toтакође asназивају "'''the„рационалним” rationals'''"вредностима,<ref>{{cite book |title=Elements of Pure and Applied Mathematics |edition=illustrated |first1=Harry |last1=Lass |publisher=Courier Corporation |year=2009 |isbn=978-0-486-47186-0 |page=382 |url=https://books.google.com/books?id=WAY_AwAAQBAJ}} [https://books.google.com/books?id=WAY_AwAAQBAJ&pg=PA382 Extract of page 382]</ref> the '''fieldпоље ofрационалних rationals'вредности''<ref>{{cite book |title=The Collected Works of Julia Robinson |first1=Julia |last1=Robinson |publisher=American Mathematical Soc |year=1996 |isbn=978-0-8218-0575-6 |page=104 |url=https://books.google.com/books?id=_33D84OENIAC}} [https://books.google.com/books?id=_33D84OENIAC&pg=PA104 Extract of page 104]</ref> or theили '''fieldпоље ofрационалних rational numbers'бројева'' isобично usuallyсе denotedозначава by a boldfaceподебљаним {{math|'''Q'''}} (or [[blackboard bold]]или <math>\mathbb{Q}</math>, Unicodeуникод вредношћу {{unichar|1D410|MATHEMATICAL BOLD CAPITAL Q}} orили {{unichar|211A|DOUBLE-STRUCK CAPITAL Q}});<ref>{{cite web|last1=Rouse|first1=Margaret |title=Mathematical Symbols|url=http://searchdatacenter.techtarget.com/definition/Mathematical-Symbols|access-date=1 April 2015}}</ref> itкако wasга thus denoted inје 1895. byозначио [[Giuseppe Peano|Ђузепе Пеано]] afterпо речи ''[[wikt:quoziente|quoziente]]'', Italianшто forје "италијански за „[[quotient|квоцијент]]"“, andа firstпрви appearedпут inсе Bourbaki'sпојавио у Бурбакијевој ''AlgèbreАлгебри''.<ref name=":0" />
 
Сваки рационалан број може бити написан на бесконачан број начина, на пример <math>\frac{3}{6} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}</math>. Најједноставнији облик је када [[бројилац]] и [[именилац]] немају заједничког [[дељење|делитеља]] (узајамно су [[прост број|прости]]), а сваки рационалан број различит од нуле има тачно једну једноставну форму са позитивним имениоцем. Рационални бројеви имају децимални развој са периодичним понављањем група цифара. Овде се рачуна и случај када нема децимала или када се од неког места 0 понавља бесконачно. Ово је истинито за сваку целобројну основу већу од 1. Другим речима, ако је развој исписа неког броја у некој бројној основи периодичан, он је периодичан у свим основама, а број је рационалан. [[Реалан број]] који није рационалан се зове [[ирационалан број|ирационалан]]. [[Скуп]] свих рационалних бројева, који чине [[поље (математика)|поље]], означава се са <math>\mathbb{Q}</math>. Користећи скуповну нотацију <math>\mathbb{Q}</math> се дефинише као: <math>\mathbb{Q} = \left\{\frac{m}{n} : m \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{Z}, n \ne 0 \right\},</math> где је <math>\mathbb{Z}</math> скуп [[цео број|целих бројева]].
 
The [[decimal expansion|Децимално проширење]] ofрационалног aброја rationalсе numberбило eitherзавршава terminatesнакон after a finite numberконачног ofброја [[numerical digit|digitsцифара]] (exampleпример: {{math|{{sfrac|3|4}} {{=}} 0.75}}), orили eventuallyна beginsкрају toпочиње да се [[repeating decimal|repeatпонавља]] theисти same finiteконачни [[sequence|низ]] of digitsцифара overизнова andи overизнова (exampleпример: {{math|{{sfrac|9|44}} {{=}} 0.20454545...}}).<ref>{{Cite web|title=Rational number|url=https://www.britannica.com/science/rational-number|access-date=2020-08-11|website=Encyclopedia Britannica|language=en}}</ref> ConverselyНасупрот томе, anyсвака repeatingдецимала orкоја terminatingсе decimalпонавља representsили aзавршава rationalпредставља numberрационалан број. TheseОви statementsискази areсу trueтачни inу [[decimal|baseбази 10]], andи inу everyсвакој otherдругој integerцелобројној [[radix|baseбази]] (forна exampleпример, [[binary numeral system|binaryбинарној]] orили [[hexadecimal|хексадецималној]]).
 
A [[realРеалан numberброј]] thatкоји isније notрационалан rationalназива is calledсе [[irrational number|irrationalирационалан]].<ref name=":0">{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Rational Number|url=https://mathworld.wolfram.com/RationalNumber.html|access-date=2020-08-11|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref> IrrationalИрационални numbersбројеви includeукључују {{math|[[square root of 2|{{sqrt|2}}]]}}, [[Pi|{{pi}}]], {{math|[[E (mathematical constant)|-{''e''}-]]}}, andи {{math|[[Golden ratio|''φ'']]}}. The [[decimal expansion|Децимално проширење]] ofирационалног anброја irrationalсе numberнаставља continuesбез without repeatingпонављања. SinceПошто theје setскуп ofрационалних rational numbers isбројева [[countable set|countableпребројив]], andа theскуп set of real numbers isреалних [[uncountable set|uncountableнебројив]], [[almostи all]]скоро realсви numbersреални areбројеви irrationalсу ирационални.<ref name="Rosen"/>
 
RationalРационални numbersбројеви canсе beмогу [[Formalism (mathematics)|formallyформално]] definedдефинисати asкао [[equivalence class|класе еквиваленције]]es of pairsпарова ofцелих integersбројева {{math|(''p'', ''q'')}} withса {{math|''q'' ≠ 0}}, using theкористећи [[equivalence relation|релацију еквиваленције]] definedдефинисану на asследећи followsначин:
: <math>\left( p_1, q_1 \right) \sim \left( p_2, q_2 \right) \iff p_1 q_2 = p_2 q_1.</math>
The fractionРазломак {{math|{{sfrac|''p''|''q''}}}} then denotes theтада equivalenceозначава classкласу ofеквиваленције {{math|(''p'', ''q'')}}.<ref name=":1">{{Cite book|last=Biggs|first=Norman L.|title=Discrete Mathematics|publisher=Oxford University Press|year=2002|isbn=978-0-19-871369-2|location=India|pages=75–78}}</ref>
 
RationalРационални numbersбројеви togetherзаједно withса [[addition|сабирањем]] andи [[multiplication|множењем]] form aчине [[field (mathematics)|fieldпоље]] whichкоје contains theсадржи [[integer|целе бројеве]]s, andи isналази containedсе inу anyбило fieldком containingпољу theкоје integersсадржи целе бројеве. InДругим other wordsречима, theпоље fieldрационалних ofбројева rational numbers is aје [[prime field|просто поље]], andа aпоље field hasима [[characteristic zero|карактеристику нула]] ifако andи onlyсамо ifако itсадржи containsрационалне theбројеве rationalкао numbers as a subfieldпотпоље. FiniteКоначна [[field extension|extensionsпроширења]] of {{math|'''Q'''}} areназивају calledсе [[algebraic number field|поља алгебарских бројева]]s, and theа [[algebraic closure|алгебарско затварање]] of {{math|'''Q'''}} isје the field ofпоље [[algebraic number|алгебарских бројева]]s.<ref name="Gilbert">{{cite book |last1=Gilbert |first1=Jimmie |last2=Linda |first2=Gilbert|author2-link=Linda Gilbert Saucier |year=2005 |title=Elements of Modern Algebra |edition=6th |publisher=Thomson Brooks/Cole |location=Belmont, CA |isbn=0-534-40264-X |pages=243–244}}</ref>
 
== Етимологија ==
Преузето из „https://sr.wikipedia.org/wiki/Рационалан_број”