|
\end{align}</math>
== ХомотопијскаХомотопска еквиваленција ==
Given two topological spaces ''X'' and ''Y'', a '''homotopy equivalence''' between ''X'' and ''Y'' is a pair of continuous [[map (mathematics)|map]]s {{nowrap|1=''f'' : ''X'' → ''Y''}} and {{nowrap|1=''g'' : ''Y'' → ''X''}}, such that {{nowrap|1=''g'' ∘ ''f''}} is homotopic to the [[identity function|identity map]] id<sub>''X''</sub> and {{nowrap|1=''f'' ∘ ''g''}} is homotopic to id<sub>''Y''</sub>. If such a pair exists, then ''X'' and ''Y'' are said to be '''homotopy equivalent''', or of the same '''homotopy type'''. Intuitively, two spaces ''X'' and ''Y'' are homotopy equivalent if they can be transformed into one another by bending, shrinking and expanding operations. Spaces that are homotopy-equivalent to a point are called [[contractible]].
За дата два тополошка простора ''X'' и ''Y'', ''хомотопска еквиваленција'' између ''X'' и ''Y'' је пар непрекидних [[map (mathematics)|мапа]] {{nowrap|1=''f'' : ''X'' → ''Y''}} и {{nowrap|1=''g'' : ''Y'' → ''X''}}, тако да је {{nowrap|1=''g'' ∘ ''f''}} хомотопна [[identity function|мапи идентитета]] id<sub>''X''</sub> и {{nowrap|1=''f'' ∘ ''g''}} је хомотопна према id<sub>''Y''</sub>. Ако такав пар постоји, онда се за ''X'' и ''Y'' каже да су ''хомотопски еквивалентни'', или истог ''типа хомотопије''. Интуитивно, два простора ''X'' и ''Y'' су хомотопски еквивалентни ако се могу трансформисати један у други операцијама савијања, скупљања и ширења. Простори који су хомотопијски еквивалентни тачки називају се [[contractible|контрактивним]].
=== Homotopy equivalence vs. homeomorphism ===
A [[homeomorphism]] is a special case of a homotopy equivalence, in which {{nowrap|1=''g'' ∘ ''f''}} is equal to the identity map id<sub>''X''</sub> (not only homotopic to it), and {{nowrap|1=''f'' ∘ ''g''}} is equal to id<sub>''Y''</sub>.<ref>Archived at [https://ghostarchive.org/varchive/youtube/20211211/XxFGokyYo6g Ghostarchive]{{cbignore}} and the [https://web.archive.org/web/20200829013025/https://www.youtube.com/watch?v=XxFGokyYo6g&gl=US&hl=en Wayback Machine]{{cbignore}}: {{Cite web|last=Albin|first=Pierre|date=2019|title=History of algebraic topology|url=https://www.youtube.com/watch?v=XxFGokyYo6g}}{{cbignore}}</ref>{{Rp|0:53:00}} Therefore, if X and Y are homeomorphic then they are homotopy-equivalent, but the opposite is not true. Some examples: ▼
=== Хомотопска еквиваленција наспрам хомеоморфизма ===
* A solid disk is homotopy-equivalent to a single point, since you can deform the disk along radial lines continuously to a single point. However, they are not homeomorphic, since there is no [[bijection]] between them (since one is an infinite set, while the other is finite).
▲A [[homeomorphism |Хомеоморфизам]] isје aпосебан specialслучај caseхомотопске ofеквиваленције, a homotopy equivalence,у inкојем whichје {{nowrap|1=''g'' ∘ ''f''}} isједнако equalмапи to the identity mapидентитета id<sub>''X''</sub> ( notне onlyсамо homotopicхомотопно to itњој), andа {{nowrap|1=''f'' ∘ ''g''}} is equalје toједнако id<sub>''Y''</sub>.<ref>Archived at [https://ghostarchive.org/varchive/youtube/20211211/XxFGokyYo6g Ghostarchive]{{cbignore}} and the [https://web.archive.org/web/20200829013025/https://www.youtube.com/watch?v=XxFGokyYo6g&gl=US&hl=en Wayback Machine]{{cbignore}}: {{Cite web|last=Albin|first=Pierre|date=2019|title=History of algebraic topology|url=https://www.youtube.com/watch?v=XxFGokyYo6g}}{{cbignore}}</ref>{{Rp|0:53:00}} ThereforeДакле, ifако су X andи Y areхомеоморфни homeomorphicонда thenсу theyхомотопски are homotopy-equivalentеквивалентни, but the oppositeали isсупротно notније trueтачно. SomeНеки examplesпримери:
* The [[Möbius strip]] and an untwisted (closed) strip are homotopy equivalent, since you can deform both strips continuously to a circle. But they are not homeomorphic.
* Чврсти диск је хомотопски еквивалентан једној тачки, пошто се диск може деформисати дуж радијалних линија непрекидно до једне тачке. Међутим, оне нису хомеоморфне, пошто између њих не постоји [[bijection|бијекција]] (пошто је једно бесконачан скуп, док је друго коначан).
=== Examples ===
* [[Мебијусова трака]] и неуплетена (затворена) трака су хомотопски еквивалентни, пошто се обе траке могу континуално деформисати у круг. Међутим оне нису хомеоморфне.
* The first example of a homotopy equivalence is <math>\mathbb{R}^n</math> with a point, denoted <math>\mathbb{R}^n \simeq \{ 0\}</math>. The part that needs to be checked is the existence of a homotopy <math>H: I \times \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n</math> between <math>\operatorname{id}_{\mathbb{R}^n}</math> and <math>p_0</math>, the projection of <math>\mathbb{R}^n</math> onto the origin. This can be described as <math>H(t,\cdot) = t\cdot p_0 + (1-t)\cdot\operatorname{id}_{\mathbb{R}^n}</math>. ▼* There is a homotopy equivalence between <math>S^1</math> (the [[n-sphere|1-sphere]]) and <math>\mathbb{R}^2-\{0\}</math>. ▼** More generally, <math>\mathbb{R}^n-\{ 0\} \simeq S^{n-1}</math>. ▼* Any [[fiber bundle]] <math>\pi: E \to B</math> with fibers <math>F_b</math> homotopy equivalent to a point has homotopy equivalent total and base spaces. This generalizes the previous two examples since <math>\pi:\mathbb{R}^n - \{0\} \to S^{n-1}</math>is a fiber bundle with fiber <math>\mathbb{R}_{>0}</math>.
* Every [[vector bundle]] is a fiber bundle with a fiber homotopy equivalent to a point.
* <math>\mathbb{R}^n - \mathbb{R}^k \simeq S^{n-k-1}</math> for any <math>0 \le k < n</math>, by writing <math>\mathbb{R}^n - \mathbb{R}^k</math> as the total space of the fiber bundle <math>\mathbb{R}^k \times (\mathbb{R}^{n-k}-\{0\})\to (\mathbb{R}^{n-k}-\{0\})</math>, then applying the homotopy equivalences above. ▼* If a subcomplex <math>A</math> of a [[CW complex]] <math>X</math> is contractible, then the [[quotient space (topology)|quotient space]] <math>X/A</math> is homotopy equivalent to <math>X</math>.<ref>{{Cite book|title=Algebraic topology|last=Allen.|first=Hatcher|date=2002|publisher=Cambridge University Press|isbn=9780521795401|location=Cambridge|pages=11|oclc=45420394}}</ref> ▼* A [[deformation retraction]] is a homotopy equivalence.
===Null-homotopy Примери ===
A function ''f'' is said to be '''null-homotopic''' {{anchor|null homotopic}} if it is homotopic to a constant function. (The homotopy from ''f'' to a constant function is then sometimes called a '''null-homotopy'''.) For example, a map ''f'' from the [[unit circle]] ''S''<sup>1</sup> to any space ''X'' is null-homotopic precisely when it can be continuously extended to a map from the [[unit disk]] ''D''<sup>2</sup> to ''X'' that agrees with ''f'' on the boundary.
▲* TheПрви firstпример exampleхомотопијске ofеквиваленције a homotopy equivalence isје <math>\mathbb{R}^n</math> with aса pointтачком, denotedозначеном <math>\mathbb{R}^n \simeq \{ 0\}</math>. TheДео partкоји thatтреба needsпроверити toје beпостојање checked is the existence of a homotopyхомотопије <math>H: I \times \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n</math> betweenизмеђу <math>\operatorname{id}_{\mathbb{R}^n}</math> and <math>p_0</math>, the projection ofпројекције <math>\mathbb{R}^n</math> onto theна originисходиште. ThisОво canсе beможе describedописати asкао <math>H(t,\cdot) = t\cdot p_0 + (1-t)\cdot\operatorname{id}_{\mathbb{R}^n}</math>.
It follows from these definitions that a space ''X'' is contractible if and only if the identity map from ''X'' to itself—which is always a homotopy equivalence—is null-homotopic.
▲* There isПостоји aхомотопска homotopyеквиваленција equivalence betweenизмеђу <math>S^1</math> ( the [[n-sphere|1- sphereсфера]]) andи <math>\mathbb{R}^2-\{0\}</math>.
▲** More generallyУопштеније, <math>\mathbb{R}^n-\{ 0\} \simeq S^{n-1}</math>.
* Било који [[fiber bundle|сноп влакана]] <math>\pi: E \to B</math> са влакнима <math>F_b</math> хомотопно еквивалентним тачки има хомотопни еквивалентан укупни и базни простор. Ово генерализује претходна два примера пошто је <math>\pi:\mathbb{R}^n - \{0\} \to S^{n-1}</math> сноп влакана са влакнима <math>\mathbb{R}_{>0}</math>.
* Сваки [[vector bundle|векторски сноп]] је сноп влакана са хомотопијом влакана еквивалентном тачки.
▲* <math>\mathbb{R}^n - \mathbb{R}^k \simeq S^{n-k-1}</math> forза anyбило које <math>0 \le k < n</math>, by writingписањем <math>\mathbb{R}^n - \mathbb{R}^k</math> as the total spaceкао ofукупан theпростор fiberснопа bundleвлакана <math>\mathbb{R}^k \times (\mathbb{R}^{n-k}-\{0\})\to (\mathbb{R}^{n-k}-\{0\})</math>, thenа applyingзатим theпримењујући homotopyгорње equivalencesхомотопске aboveеквивалентности.
▲* IfАко aје subcomplexподкомплекс <math>A</math> of a [[CW complex |CW комплекса]] <math>X</math> isје contractibleконтрактибилан, thenонда theје [[quotient space (topology)| quotientколичник spaceпростора]] <math>X/A</math> is homotopy equivalentхомотопски toеквивалент <math>X</math>.<ref>{{Cite book|title=Algebraic topology|last=Allen.|first=Hatcher|date=2002|publisher=Cambridge University Press|isbn=9780521795401|location=Cambridge|pages=11|oclc=45420394}}</ref>
* [[deformation retraction|Деформациона ретракција]] је хомотопска еквиваленција.
=== Нулта хомотопија ===
За функцију ''f'' се каже да је ''нулто-хомотопна'' ако је хомотопна константној функцији. (Хомотопија од ''f'' до константне функције се тада понекад назива ''нултом хомотопијом''.) На пример, мапа ''f'' из [[unit circle|јединичног круга]] ''S''<sup>1</sup> у било који простор ''X'' је нулто-хомотопна управо када се може континуирано проширивати на мапу из [[unit disk|јединичног диска]] ''D''<sup>2</sup> у ''X'' који се слаже са ''f'' на граници.
Из ових дефиниција следи да је простор ''X'' контрактибилан ако и само ако је мапа идентитета из ''X'' у себе – која је увек хомотопска еквиваленција – нулто-хомотопна.
== Види још ==
| 