Синусна теорема — разлика између измена

; Доказ: Око [[троугао|троугла]] ABC описана је [[кружница]] полупречника R, на слици десно. <math>CA' =2R</math> је пречник. Знамо да су периферни углови над истом тетивом <math>BC=a</math> једнаки, тј. <math>\alpha=\angle BAC=\angle BA' C,</math> те да је периферни угао <math>\angle CBA'</math> над пречником CA' прав. У [[Правоугли троугао|правоуглом троуглу]] A'BC имамо <math>\sin\alpha = \frac{a}{2R},</math> а отуда <math>\frac{a}{\sin\alpha}=2R.</math> Слично добијамо за углове <math>\beta,\;\gamma.</math> Крај доказа.

 

; Теорема 2: [[Симетрала]] унутрашњег угла троугла дели супротну станицу на делове пропорционалне налеглим странама.

 

* два угла троугла и једну страницу (УСУ), или

* две стране троугла и супротни угао (ССУ).

; 1. Пример (УСУ): У <math>\Delta ABC,\; BC=7cm,\; \angle A=41^o,\; \angle B=62^o.</math> Наћи дужину странице AC.

 

; Решење: <math>\frac{7}{\sin 41^o}=\frac{b}{\sin 62^o} \Rightarrow b=\frac{7\sin 62^o}{\sin 41^o}=9,4208... .</math> Према томе, <math>AC=9,42</math> са тачношћу до 3 [[значајне цифре]].

; 2. Пример (УСУ): У троуглу <math>ABC,\; AC=15 cm,\; \angle A=107^o,\; \angle B=32^o.</math> Наћи AB.

 

: Према томе, страница AB = 18,57 је тачна на 3 [[значајне цифре]].

 

 

Размотримо случајеве троугла одређеног са две странице и једним углом.

; 3. Пример (ССУ): У троуглу ABC наћи угао С када је дато <math>AB=6cm,\; BC=4cm,\; \angle A=36^o.</math>

 

 

; Решење: Тражимо [[угао]] из <math>\frac{\sin A}{a}=\frac{\sin C}{c}\; \Rightarrow \; \frac{\sin 36^o}{3}=\frac{\sin C}{6}.</math> Отуда је <math>\sin C=\frac{6\cdot\sin 36^o}{4}=0,86036... .</math> Угао чији [[синус]] је 0,86... је приближно 59° (до најближег [[степен]]а), али постоји још један, [[тупи угао]], са истим синусом, тј. 121° (до најближег степена). Такав тупи угао C₁ и [[оштри угао]] C₂, на слици (6) лево, дефинишу два различита [[Троугао|троугла]] AC₁B и AC₂B са истим почетним подацима. У првом од наведених троуглова угао B је 23°, а у другом 85°, јер је <math>\angle A + \angle B + \angle C = 180^o</math> (в. [[збир углова у троуглу]]).

 

; 4. Пример (ССУ): У троуглу <math>XYZ, \; \angle Y=42^o,\; XZ=10,\; YZ=7.</math> Наћи угао Х.

; Решење: Из синусне теореме <math>\frac{\sin X}{x}=\frac{\sin Y}{y}\;\Rightarrow \; \frac{\sin X}{7}=\frac{\sin 42^o}{10}.</math>

: Отуда <math>\sin X=\frac{7\cdot\sin 42^o}{10}=0,46839... .</math>