Матрица (математика) — разлика између измена
Садржај обрисан Садржај додат
MNPA |
м Враћена ревизија 3570569 корисника 79.101.23.37 (Разговор) |
||
Ред 1:
У [[математика|математици]], '''матрица''' је правоугаона табела [[број]]ева, или општије, табела која се састоји од апстрактних објеката који се могу сабирати и множити.
Матрице се користе да опишу [[систем линеарних једначина|линеарне једначине]], да се прате [[коефицијент]]и [[линеарна трансформација|линеарних трансформација]], као и за чување података који зависе од два параметра. Матрице се могу сабирати, множити, и разлагати на разне начине, што их чини кључним концептом у [[линеарна алгебра|линеарној алгебри]] и [[теорија матрица|теорији матрица]].
[[Слика:Matrix-sr.svg|мини|300п|десно|Основни елементи матрице]]
== Дефиниције и нотације ==
Хоризонталне линије у матрици се називају '''врстама''', а вертикалне '''колонама''' матрице. Матрица са ''-{m}-'' врста и ''-{n}-'' колона се назива ''-{m}-''-са-''-{n}-'' матрицом (каже се и записује да је '''формата''' ''-{m}-''×''-{n}-'') а''-{m}-'' и ''-{n}-'' су '''димензије''' матрице.
Члан матрице ''-{A}-'', који се налази у ''-{i}-''-тој врсти и у ''-{j}-''-тој колони се назива (''-{i}-'',''-{j}-'')-ти члан матрице ''-{A}-''. Ово се записује као -{''A''<sub>i,j</sub>}- или -{''A''[''i,j'']}-. Увек се прво назначује врста, па колона.
Често се пише <math>A:=(a_{i,j})_{m \times n}</math> како би се дефинисала ''-{m}-'' × ''-{n}-'' матрица ''-{A}-'' чији се сваки члан, -{''A''[''i,j'']}- назива -{''a''<sub>''i,j''</sub>}- за све 1 ≤ ''-{i}-'' ≤ ''-{m}-'' и 1 ≤ ''-{j}-'' ≤ ''-{n}-''. Међутим, конвенција да ''-{i}-'' и ''-{j}-'' почињу од 1 није универзална: неки програмски језици започињу од нуле, у ком случају имамо 0 ≤ ''-{i}-'' ≤ ''m'' − 1 и 0 ≤ ''-{j}-'' ≤ ''-{n}-'' − 1.
Матрицу чија је једна од димензија једнака јединици често називамо [[вектор]]ом, и интерпретирамо је као елемент реалног координатног простора. 1 × ''-{n}-'' матрица (једна врста и ''-{n}-'' колона) се назива ''вектор врста'', а ''-{m}-'' × 1 матрица (једна колона и ''-{m}-'' врста) се назива ''вектор колона''.
=== Пример ===
Матрица
: <math>A = \begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
1 & 2 & 7 \\
4&9&2 \\
6&0&5\end{bmatrix}</math>
је 4×3 матрица. Елемент ''-{A}-''[2,3] или ''-{a}-''<sub>2,3</sub> је 7.
Матрица
: <math> R = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \end{bmatrix} </math>
је 1×9 матрица, или вектор врста са 9 елемената.
== Сабирање и множење матрица ==
=== Сабирање ===
Ако су дате матрице ''-{A}-'' и ''-{B}-'', димензија ''-{m}-''-са-''-{n}-'', њихов '''збир''' ''-{A + B}-'' је ''-{m}-''-са-''-{n}-'' матрица, израчуната сабирањем одговарајућих елемената (т.ј. -{(''A + B'')[''i, j''] = ''A''[''i, j''] + ''B''[''i, j'']}- ). На пример:
: <math>
\begin{bmatrix}
1 & 3 & 2 \\
1 & 0 & 0 \\
1 & 2 & 2
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 5 \\
7 & 5 & 0 \\
2 & 1 & 1
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1+0 & 3+0 & 2+5 \\
1+7 & 0+5 & 0+0 \\
1+2 & 2+1 & 2+1
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1 & 3 & 7 \\
8 & 5 & 0 \\
3 & 3 & 3
\end{bmatrix}
</math>
=== Множење скаларом ===
Ако узмемо матрицу ''-{A}-'' и број ''-{c}-'', '''скаларни производ''' ''-{cA}-'' се рачуна множењем [[скалар]]ом ''-{c}-'' сваког елемента ''-{A}-'' (т.ј. -{(''cA'')[''i'', ''j''] = ''cA''[''i'', ''j'']}- ). На пример:
: <math>2
\begin{bmatrix}
1 & 8 & -3 \\
4 & -2 & 5
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
2\cdot 1 & 2\cdot 8 & 2\cdot (-3) \\
2\cdot 4 & 2\cdot (-2) & 2\cdot 5
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
2 & 16 & -6 \\
8 & -4 & 10
\end{bmatrix}
</math>
Операције сабирања и множења скаларом претварају скуп -{M}-(''-{m}-'', ''-{n}-'', '''-{R}-''') свих ''-{m}-''-са-''-{n}-'' матрица са реалним члановима у реални [[векторски простор]] димензије ''-{mn}-''.
=== Међусобно множење матрица ===
'''Множење''' две матрице је добро дефинисано само ако је број колона леве матрице једнак броју врста десне матрице. Ако је ''-{A}-'' матрица димензија ''-{m}-''-са-''-{n}-'', а ''-{B}-'' је матрица димензија ''-{n}-''-са-''-{p}-'', тада је њихов '''производ''' ''-{AB}-'' матрица димензија ''-{m}-''-са-''-{p}-'' (''-{m}-'' врста, ''-{p}-'' колона) дат формулом:
<!-------------------------------------------------------------------------------->
<!-- NOTE: \,\! forces PNG display instead of HTML. This makes the display of -->
<!-- the equation match the PNG-by-default matrices. Please do not remove it. -->
<!-------------------------------------------------------------------------------->
:<math>\,\!
(AB)[i,j] = A[i,1] B[1,j] + A[i,2] B[2,j] + ... + A[i,n] B[n,j]
</math>
за сваки пар ''-{i}-'' и ''-{j}-''.
На пример:
: <math>
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 2 \\
-1 & 3 & 1 \\
\end{bmatrix}
\cdot
\begin{bmatrix}
3 & 1 \\
2 & 1 \\
1 & 0 \\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
(1 \cdot 3 + 0 \cdot 2 + 2 \cdot 1)
& (1 \cdot 1 + 0 \cdot 1 + 2 \cdot 0) \\
((-1) \cdot 3 + 3 \cdot 2 + 1 \cdot 1)
& ((-1) \cdot 1 + 3 \cdot 1 + 1 \cdot 0) \\
\end{bmatrix}
</math>
:::::::: <math>
=
\begin{bmatrix}
5 & 1 \\
4 & 2 \\
\end{bmatrix}
</math>
Множење матрица има следећа својства:
* -{(''AB'')''C'' = ''A''(''BC'')}- за све ''-{k}-''-са-''-{m}-'' матрице ''-{A}-'', ''-{m}-''-са-''-{n}-'' матрице ''-{B}-'' и ''-{n}-''-са-''-{p}-'' матрице ''-{C}-'' (асоцијативност).
* -{(''A + B'')''C'' = ''AC'' + ''BC''}- за све ''-{m}-''-са-''-{n}-'' матрице ''-{A}-'' и ''-{B}-'' и ''-{n}-''-са-''-{k}-'' матрице ''-{C}-'' (десна дистрибутивност).
* -{''C''(''A + B'') = ''CA'' + ''CB''}- за све ''-{m}-''-са-''-{n}-'' матрице ''-{A}-'' и ''-{B}-'' и ''-{k}-''-са-''-{m}-'' матрице ''-{C}-'' (лева дистрибутивност).
Ваља знати да [[комутативност]] '''не''' важи у општем случају; ако су дате матрице ''-{A}-'' и ''-{B}-'', чак и ако су оба производа дефинисана, у општем случају је ''-{AB}-'' ≠ ''-{BA}-''.
Посебно, скуп -{M(''n'', '''R''')}- свих квадратних матрица реда -{''n''}- јесте реална асоцијативна [[алгебра (структура)|алгебра]] са јединицом, која је некомутативна за -{''n'' ≥ 2}-.
== Линеарне трансформације, ранг, транспонована матрица ==
Матрице могу на згодан начин да представе [[линеарна трансформација|линеарне трансформације]] јер множење матрица одговара слагању пресликавања, као што ће даље бити описано. Управо ово својство матрице чини моћном [[структуре података|структуром података]] у вишим програмским језицима.
Овде и у наставку, посматрамо '''-{R}-'''<sup>''-{n}-''</sup> као скуп ''колона'' или ''-{n}-''-са-1 матрица.
За свако линеарно пресликавање ''-{f}-'' : '''-{R}-'''<sup>''-{n}-''</sup> → '''-{R}-'''<sup>''-{m}-''</sup> постоји јединствена ''-{m}-''-са-''-{n}-'' матрица ''-{A}-'', таква да -{''f''(''x'') = ''Ax''}- за свако ''-{x}-'' у '''-{R}-'''<sup>''-{n}-''</sup>.
Кажемо да матрица ''-{A}-'' ''представља'' линеарно пресликавање ''-{f}-''.
Ако ''-{k}-''-са-''-{m}-'' матрица ''-{B}-'' представља друго линеарно пресликавање ''-{g}-'' : -{'''R'''<sup>''m''</sup> → '''R'''<sup>''k''</sup>}-, тада је њихова [[композиција пресликавања|композиција]] -{''g'' o ''f''}- такође линеарно пресликавање -{'''R'''<sup>''m''</sup> → '''R'''<sup>''n''</sup>}-, и представљено је управо матрицом ''-{BA}-''. Ово следи из горе поменуте асоцијативности множења матрица.
Општије, линеарно пресликавање из ''-{n}-''-димензионог векторског простора у ''-{m}-''-димензиони векторски простор је представљено ''-{m}-''-са-''-{n}-'' матрицом, ако су изабране базе за сваки.
[[Ранг матрице]] ''-{A}-'' је [[Хамелова димензија|димензија]] [[Слика (математика)|слике]] линеарног пресликавања представљеног са ''-{A}-''; она је иста као димензија простора генерисаног врстама ''-{A}-'', и такође је исте димензије као простор генерисан колонама ''-{A}-''.
Транспонована матрица, матрице ''-{m}-''-са-''-{n}-'', ''-{A}-'' је ''-{n}-''-са-''-{m}-'' матрица -{''A''<sup>tr</sup>}- (некад се записује и као -{''A''<sup>T</sup>}- или -{<sup>t</sup>''A''}-), која настаје претварањем врста у колоне, и колона у врсте, то јест -{''A''<sup>tr</sup>[''i'', ''j''] = ''A''[''j'', ''i'']}- за свако ''-{i}-'' и ''-{j}-''. Ако ''-{A}-'' представља линеарно пресликавање у односу на две базе, тада матрица -{''A''<sup>tr</sup>}- представља линеарно пресликавање у односу на дуалне базе (види [[дуални простор]]).
Важи -{(''A + B'')<sup>tr</sup> = ''A''<sup>tr</sup> + ''B''<sup>tr</sup>}- и -{(''AB'')<sup>tr</sup> = ''B''<sup>tr</sup> ''A''<sup>tr</sup>}-.
== Види још ==
=== Особине матрица ===
* [[Ранг матрице]]
* [[Детерминанта]]
* [[Инвертибилна матрица]]
* [[Еквивалентне матрице]]
* [[Сличне матрице]]
=== Посебне матрице ===
* [[Јединична матрица]]
* [[Булова матрица]]
[[Категорија:Апстрактна алгебра]]
[[Категорија:Линеарна алгебра]]
[[Категорија:Матрице| ]]
{{Link FA|pl}}
{{Link FA|ur}}
[[ar:مصفوفة]]
[[az:Matris]]
[[id:Matriks (matematika)]]
[[ms:Matriks (matematik)]]
[[bg:Матрица (математика)]]
[[bn:মেট্রিক্স]]
[[bs:Matrica (matematika)]]
[[ca:Matriu (matemàtiques)]]
[[cs:Matice]]
[[da:Matrix]]
[[de:Matrix (Mathematik)]]
[[et:Maatriks]]
[[el:Πίνακας (μαθηματικά)]]
[[en:Matrix (mathematics)]]
[[es:Matriz (matemática)]]
[[eo:Matrico]]
[[eu:Matrize]]
[[fa:ماتریس (ریاضی)]]
[[fr:Matrice (mathématiques)]]
[[gl:Matriz (matemáticas)]]
[[gan:行列]]
[[he:מטריצה]]
[[hi:व्यूह]]
[[hr:Matrica (matematika)]]
[[is:Fylki (stærðfræði)]]
[[it:Matrice]]
[[ja:行列]]
[[ko:행렬]]
[[lv:Matrica]]
[[lt:Matrica (matematika)]]
[[lo:ມາຕຣິກ]]
[[hu:Mátrix (matematika)]]
[[mk:Матрица]]
[[ml:മാട്രിക്സ്]]
[[nl:Matrix (wiskunde)]]
[[no:Matrise]]
[[nn:Matrise]]
[[mhr:Матрице]]
[[pa:ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ]]
[[pms:Matris]]
[[pnb:ماٹرکس (ریاضیات)]]
[[pl:Macierz]]
[[pt:Matriz (matemática)]]
[[ro:Matrice (matematică)]]
[[ru:Матрица (математика)]]
[[sq:Matrica]]
[[scn:Matrici (matimàtica)]]
[[simple:Matrix (mathematics)]]
[[sk:Matica (matematika)]]
[[sl:Matrika]]
[[fi:Matriisi]]
[[sv:Matris]]
[[ta:அணி]]
[[th:เมทริกซ์ (คณิตศาสตร์)]]
[[vi:Ma trận (toán học)]]
[[tr:Matris (matematik)]]
[[uk:Матриця (математика)]]
[[ur:میٹرکس]]
[[zh:矩阵]]
| |||