Подгрупа (математика) — разлика између измена

м
Разне исправке
м (Бот Додаје: ja:部分群)
м (Разне исправке)
У [[теорија група|теорији група]], за дату [[група (математика)|групу]] ''-{G}-'' у односу на [[бинарна операција|бинарну операцију]] *, кажемо да је неки [[подскуп]] ''-{H}-'' од ''-{G}-'' '''подгрупа''' од ''-{G}-'' ако ''-{H}-'' такође гради групу у односу на операцију *. Прецизније, ''-{H}-'' је подгрупа ''-{G}-'' ако је рестрикција * на ''-{H}-'' операција групе на ''-{H}-''.
 
'''Права погрупа''' групе ''-{G}-'' је подгрупа ''-{H}-'', која је [[подскуп|прави подскуп]] од ''-{G}-'' (т. ј. -{''H'' ≠ ''G''}-). '''Тривијална подгрупа''' било које групе је подгрупа {''-{e}-''} која се састоји само од неутрала. Ако је ''-{H}-'' подгрупа од ''-{G}-'', понекад се каже да је ''-{G}-'' ''надгрупа'' од ''-{H}-''.
 
Исте дефиниције важе у општијем облику када је ''-{G}-'' произвољна [[полугрупа]], али овај чланак се бави само подгрупама група. Група ''-{G}-'' се понекад означава [[уређени пар|уређеним паром]] (''-{G}-'',*), обично да нагласи операцију * када ''-{G}-'' носи више алгебарских или других структура.
== Основна својства подгрупа ==
*''-{H}-'' је подгрупа групе ''-{G}-'' [[ако и само ако]] је непразна и затворена за производ и инверзе. (Затвореност значи следеће: кад год су ''-{a}-'' и ''-{b}-'' унутар ''-{H}-'', тада је и ''-{ab}-'' и ''-{a}-''<sup>&minus;1</sup> су такође унутар ''-{H}-''. Ова два услова могу да се споје у један еквивалентан услов: кад год су ''-{a}-'' и ''-{b}-'' унутар ''-{H}-'', тада је и ''-{ab}-''<sup>&minus;1</sup> унутар ''-{H}-''.) У случају када је ''-{H}-'' коначно, тада је ''-{H}-'' подгрупа ако и само ако је ''-{H}-'' затворено у односу на производе. (У овом случају, сваки елемент ''-{a}-'' из ''-{H}-'' генерише коначну [[циклична група|цикличну подгрупу]] од ''-{H}-'', и инверз од ''-{a}-'' је тада ''-{a}-''<sup>&minus;1</sup> = -{''a''<sup>''n'' &minus; 1</sup>}-, где је ''-{n}-'' ред од ''-{a}-''.
*Горњи услов се може изрећи у терминима [[хомоморфизам|хомоморфизама]]; то јест, ''-{H}-'' је подгрупа групе ''-{G}-'' ако и само ако је ''-{H}-'' подскуп од ''-{G}-'' и постоји инклузиони хомоморфизам (т. ј., -{i(''a'') = ''a''}- за свако ''-{a}-'') из ''-{H}-'' у ''-{G}-''.
*Неутрал подгрупе је неутрал групе: ако је ''-{G}-'' група са неутралом -{''e''<sub>''G''</sub>}-, и ''-{H}-'' је подгрупа од ''-{G}-'' са неутралом -{''e''<sub>''H''</sub>}-, тада је -{''e''<sub>''H''</sub> = ''e''<sub>''G''</sub>}-.
*Инверз елемента подгрупе је инверз елемента групе: ако је ''-{H}-'' подгрупа од ''-{G}-'', и ''-{a}-'' и ''-{b}-'' су елементи из ''-{H}-'', такви да -{''ab'' = ''ba'' = ''e''<sub>''H''</sub>}-, тада -{''ab'' = ''ba'' = ''e''<sub>''G''</sub>}-.
1.572.075

измена