Неједнакост — разлика између измена
Садржај обрисан Садржај додат
м r2.7.1) (Робот додаје: bs:Nejednakost |
Нема описа измене |
||
Ред 3:
У [[математика|математици]], '''неједнакост''' је исказ о релативној величини или реду два предмета, ''или'' о томе да ли они исти лил нису (Такође погледајте: [[Једнакост (математика)|једнакост]])
* Ознака ''-{a}-'' < ''-{b}-'' значи да је ''-{a}-'' '''мање од''' ''-{b}-''.
* Ознака ''-{a}-'' > ''-{b}-'' значи да је ''-{a}-'' '''веће од''' ''-{b}-''.
* Ознака ''-{a}-'' ≠ ''-{b}-'' значи да је ''-{a}-'' '''није једнако са''' ''-{b}-,'' али не говори да је једно веће од другог, или чак да се могу поредити по величини.
У свим овим случајевима, ''-{a}-'' није једнакоса ''-{b}-,'' па имамо, "
Ове релације се познате као '''строге неједнакости'''
* Ознака ''-{a}-'' ≤ ''-{b}-'' значи да је ''-{a}-'' '''мање или једнако са''' ''-{b}-'' (или, еквивалентно, '''не веће од''' ''-{b}-'');
* Ознака ''-{a}-'' ≥ ''-{b}-'' значи да је ''-{a}-'' '''веће или једнако са''' ''-{b}-'' (или, еквивалентно, '''не мање од''' ''-{b}-'');
Постоје и ознаке којим се говори да је једна величина много већа од друге, најчешће за неколико [[ред величине|редова величине]].
* Ознака ''-{a}-'' {{unicode|≪}} ''-{b}-'' значи да је ''-{a}-'' '''много мање од''' ''-{b}-''.
* Ознака ''-{a}-'' {{unicode|≫}} ''-{b}-'' значи да је ''-{a}-'' '''много веће од''' ''-{b}-''.
Ако је смисао неједности исти за све вредности варијабли за које су чланови неједнакости дефинисани, тада се неједнакост назива "апсолутном" или "безусловном" неједнакошћу. Ако смисао неједнакости важи само са одређене вредности варијабли, али је супротна или се поништава за друге вредности тих варијабли, тада се то назива "условна неједнакост".
Ред 28:
Особина [[Трихотомија (математика)|трихотомије]] каже да је:
* За све [[реалан број|реалне бројеве]], ''-{a}-'' и ''-{b}-'', тачно једно, од следећег, је тачно:
** ''-{a}-'' < ''-{b}-'' ** ''-{a}-'' = ''-{b}-'' ** ''-{a}-'' > ''-{b}-''
=== Транзитивност ===
Ред 36:
[[Транзитивна релација|Транзитивност]] неједнакости каже да је:
* За све [[реалан број|реалне бројеве]], ''-{a}-'', ''-{b}-'', ''-{c}-'':
** Ако је ''-{a}-'' > ''-{b}-'' и ''-{b}-'' > ''-{c}-''; тада је ''-{a}-'' > ''-{c}-''
** Ако је ''-{a}-'' < ''-{b}-'' и ''-{b}-'' < ''-{c}-''; тада је ''-{a}-'' < ''-{c}-''
** Ако је ''-{a}-'' > ''-{b}-'' и ''-{b}-'' = ''-{c}-''; тада је ''-{a}-'' > ''-{c}-''
** Ако је ''-{a}-'' < ''-{b}-'' и ''-{b}-'' = ''-{c}-''; тада је ''-{a}-'' < ''-{c}-''
=== Сабирање и одузимање ===
Особине везане за [[сабирање]] и [[одузимање]] кажу да је:
* За све [[реалан број|реалне бројеве]], ''
** Ако је ''-{a}-'' < ''-{b}-'', тада је ''-{a}-'' + ''-{c}-'' < ''-{b}-'' + ''-{c}-'' i ''-{a}-'' − ''-{c}-'' < ''-{b}-'' − ''-{c}-''
** Ако је ''-{a}-'' > ''-{b}-'', тада је ''-{a}-'' + ''-{c}-'' > ''-{b}-'' + ''-{c}-'' и ''-{a}-'' − ''-{c}-'' > ''-{b}-'' − ''-{c}-''
=== Множење и дељење ===
Ред 52:
Особине везане за [[множење]] и [[дељење (математика)|дељење]] кажу да је:
* За све [[реалан број|реалне бројеве]], ''-{a}-'', ''-{b}-'', ''-{c}-'':
** Ако је ''-{c}-'' [[негативни и ненегативни бројеви|позитиван]] и ''-{a}-'' < ''-{b}-'', тада је ''
** Ако је ''-{c}-'' [[негативни и ненегативни бројеви|негативан]] и ''
=== Инверз сабирања ===
Ред 61:
Особине за [[инверз сабирања]] кажу да је:
* За све реалне бројеве ''-{a}-'' и ''-{b}-''
** Ако је ''-{a}-'' < ''-{b}-'', тада је −''-{a}-'' > −''-{b}-''
** Ако је ''-{a}-'' > ''-{b}-'', тада је −''-{a}-'' < −''-{b}-''
=== Инверз множења ===
Особине за [[инверз множења]] кажу да је:
* За све реалне бројеве ''-{a}-'' и ''-{b}-'', који су или оба [[позитивно|позитивни]] или оба [[негативно|негативни]]
** Ако је ''
** Ако је ''-{a}-'' > ''-{b}-'', тада је 1/''-{a}-'' < 1/''-{b}-''
== Неједнакости између средњих вредности ==
{{main|Неједнакости између бројевних средина}}
Постоји много неједнакости између средњих вредности. На пример, за било које позитивне бројеве ''-{a}-''<sub>1</sub>, ''-{a}-''<sub>2</sub>, …, ''-{a}-''<sub>''n''</sub>, имамо да је ''
:{| style="height:200px"
|-
Ред 88:
== Неједнакости степена ==
Понекад са ознаком "'''степена неједнакост'''" подразумевамо једнакости које садрже израз типа ''-{a}-''<sup>''-{b}-''</sup>, где су ''-{a}-'' и ''-{b}-'' реални позитивни бројеви или изрази неких варијабли.
=== Примери ===
* Ако је ''-{x}-'' > 0, тада је
:: <math>x^x \ge \left( \frac{1}{e}\right)^{1/e}.\,</math>
* Ако је ''-{x}-'' > 0, тада је
:: <math>x^{x^x} \ge x.\,</math>
* Ако је ''-{x}-'', ''y'', ''
:: <math>(x+y)^z + (x+z)^y + (y+z)^x > 2.\,</math>
* За било која два различита број ''-{a}-'' и ''-{b}-'',
:: <math>\frac{e^b-e^a}{b-a} > e^{(a+b)/2}.</math>
* Ако је ''-{x}-'', ''y'' > 0 и 0 < ''p'' < 1, tada je
:: <math>(x+y)^p < x^p+y^p.\,</math>
* Ако је ''-{x}-'', ''y'', ''
:: <math>x^x y^y z^z \ge (xyz)^{(x+y+z)/3}.\,</math>
* Ако је ''-{a}-'', ''-{b}-''>0, тада је
:: <math>a^b + b^a > 1.\,</math>
: Овај резултат уопштио је Р. Озолс [[2002]]. године, када је доказато да ако је ''-{a}-''<sub>1</sub>, ..., ''-{a}-''<sub>''н''</sub>, тада је
:: <math>a_1^{a_2}+a_2^{a_3}+\cdots+a_n^{a_1}>1</math>
: (резултат је објевљен у летонском научном часопису ''
==Комплексни бројеви и нејаднакости==
Скуп [[комплексни број|комплексних бројева]]s <math>\mathbb{C}</math> са својим операцијама [[сабирање|сабирања]] и [[множење|множења]] је [[поље (математика)|поље]], али није могуће дефинисати било коју релацију ≤ тако да <math>(\mathbb{C},+,\times,\le)</math> постане [[пребројиво поље]]. Да би <math>(\mathbb{C},+,\times,\le)</math> постало [[пребројиво поље]], оно мора да задовољи следећа два услова:
* ако је ''-{a}-'' ≤ ''-{b}-'' тада је ''-{a}-'' + ''-{c}-'' ≤ ''-{b}-'' + ''-{c}-''
* ако је 0 ≤ ''-{a}-'' и 0 ≤ ''-{b}-'' тада је 0 ≤ ''-{a}- b''
Пошто је ≤ [[линеарни поредак]], за свако ''-{a}-'', или је 0 ≤ ''-{a}-'' или је ''-{a}-'' ≤ 0 (у том случају прва особина имплицира да је 0 ≤ <math>-a</math>). У оба случаја имамо да је 0 ≤ ''-{a}-''<sup>2</sup>; ово значи да је <math>i^2>0</math> и <math>1^2>0</math>; па је <math>-1>0</math> и <math>1>0</math>, што значи да је <math>(-1+1)>0</math>, што је контрадикција.
Међутим, оператор ≤ се може дефинисати тако да задовољава први услов ("ако је ''-{a}-'' ≤ ''-{b}-'' тада је ''-{a}-'' + ''-{c}-'' ≤ ''-{b}-'' + ''-{c}-''"). Понекад се користи [[лексикографски поредак]]:
* a ≤ b ако је <math> Re(a)</math> < <math>Re(b)</math> или (<math>Re(a) = Re(b)</math> и <math>Im(a)</math> ≤ <math>Im(b)</math>)
Може се лако доказати да за ову дефиницију ''-{a}-'' ≤ ''-{b}-'' имплицира ''-{a}-'' + ''-{c}-'' ≤ ''-{b}-'' + ''-{c}-''.
==Векторске неједнакости==
| |||