Хелмхолцова једначина — разлика између измена
Садржај обрисан Садржај додат
Нема описа измене |
Нема описа измене |
||
Ред 1:
{{рут}}
'''Хелмхолцова једначина''' је елиптична парцијална диференцијална једначина:
: <math> (\Delta + k^2)U=f </math>
Линија 9 ⟶ 10:
Претрпоставља се да се вална функција даде решити сепарацијом варијабли по простору и времену:
:<math>u(\mathbf{r},t)=A (\mathbf{r}) T(t).
Уврштавајући (2) у (1) добијамоследећу једначину:
:<math>{\nabla^2 A \over A } = {1 \over c^2 T } { d^2 T \over d t^2 }.
Лева страна једначине (3) овиси само о просторним координатама, а десна страна о времену. Због свега тога у општем случају обе стране једначине су једнаке некој константи, па добијамо две једначине:
:<math>{\nabla^2 A \over A } = -k^2 </math> (4)
and
:<math> {1 \over c^2 T } { d^2 T \over dt^2 } = -k^2
Преуређујући једначину (4) добијамо:
:<math>\nabla^2 A + k^2 A = ( \nabla^2 + k^2) A = 0.
а преуређујући једначину (5) уз помоћ супституције <math> \omega \stackrel{\mathrm{def}}{=} kc </math>добија се:
Линија 26 ⟶ 27:
== Решавање Хелмхолцове једначине сепарацијом варијабли==
За Хелмхолцову једначину:
:<math> ( \nabla^2 + k^2 ) A = 0
Лапласијан се у поларним координатама пише као:
:<math>\begin{align}
Линија 43 ⟶ 44:
:<math>{1 \over r} {\partial A \over \partial r}
+ {\partial^2 A \over \partial r^2}
+ {1 \over r^2} {\partial^2 A \over \partial \phi^2} +(k^2 ) A = 0
Једначину покушавамо да решимо сепарацијом варијабли:
Линија 49 ⟶ 50:
гдеe Θ мора да буде периодична са периодом 2π. Одатле следи:
:<math> \Theta'' +n^2 \Theta =0, \,
и
:<math> r^2 R'' + r R' + r^2 k^2 R - n^2 R=0. \,
Решења од (9) и (10) су:
:<math> \Theta = \alpha \cos n\theta + \beta \sin n\theta, \,</math>
| |||