Хелмхолцова једначина — разлика између измена

== Извод ==

Може се приметити да у Хелмхолцовој једначини нема оператора који представљају изводе по времену. Хелмхолцова једначина може да се добије из [[Таласна једначина|таласне једначине]]:

:<math>\left(\nabla^2-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial{t}^2}\right)u(\mathbf{r},t)=0.</math> (1)

 

:<math>u(\mathbf{r},t)=A (\mathbf{r}) T(t). </math> (2)

Уврштавајући (2) у (1) добијамо следећу једначину:

Лева страна једначине (3) овиси само о просторним координатама, а десна страна о времену. Због свега тога у општем случају обе стране једначине су једнаке некој константи, па добијамо две једначине:

:<math>{\nabla^2 A \over A } = -k^2 </math> (4)

:<math> {1 \over c^2 T } { d^2 T \over dt^2 } = -k^2 </math> (5)

 

Преуређујући једначину (4) добијамо:

:<math>\nabla^2 A + k^2 A = ( \nabla^2 + k^2) A = 0. </math> (6)

 

:<math>\frac{d^2{T}}{d{t}^2} + \omega^2T = \left( { d^2 \over dt^2 } + \omega^2 \right) T = 0,</math>

 

== Решавање Хелмхолцове једначине сепарацијом варијабли==