Аксиома — разлика између измена

Садржај обрисан Садржај додат
м r2.6.5) (Робот: додато ky:Аксиома
Нема описа измене
Ред 1:
УДефиниција традиционалној [[логика|логици]]'''аксиоме''', '''аксиомаксиома''' или '''постулатпостулата''' јепотиче из традиционалне [[логика|логике]] и дефинише се као пропозиција која није доказана. АксиомАксиома је логички израз за који се сматра да је тачан. Његова истинитост се подразумева, и он служи као почетна тачка за даљу [[дедукција|дедукцију]] и инференцију.
 
Свака развијена теорија мора бити аксиоматски систематозована.
 
=== Грчко порекло ===
'''Аксиома''' (Axiom):
* од грч. '''αξίω¬μα''', „потраживање“;
* одн. грч. '''άξιόειν''', „држати за вредно“ или „држати за истинито“, отприликеодносно, „оно што се држи за истинито“;
* или грч. '''αξιωμα''' - исказ који вреди да се усвоји, неоспоран.
 
=== Значење аксиоме у наукама ===
=== Историја ===
 
Ако је на делу једна теорија у облику аксиоматског система, тада се она налази на веома узнапредовалом ступњу свог развоја. Први зачеци аксиоматизовања геометрије налазе се већ код [[Еуклид]]а (око 300. п. н. е.); а први га је потпуно достигао [[Давид Хилберт|Д. Хилберт]] крајем 19. века. У расправи ο аксиоматском уобличавању геометрије средишњу улогу је играла тзв. аксиома ο паралелама, која отирилике гласи: „Ако је α права, а Ρ тачка која не лежи на а, тада у равни у којој леже α и Ρ постоји тачно једна права кроз Ρ која не сече а, наиме паралела од а.“
====У математици====
 
'''Аксиома''' је у математици исказ који се усваја без доказа.
 
'''Систем аксиома''' је скуп аксиома на коме се гради математичка теорија.
Пошто њен садржај многима није важио као очигледан, покушало се да се овај став изведе из других аксиома; тек се око половине 19. века могао прибавити доказ да ово није могуће. Потом су се развиле и [[нееуклидске геометрије]], у којима не важи аксиома ο паралелама.
Систем аксиома мора да задовољава услове:
 
# непротивречности
Први покушаји да се [[логика]] формулише као аксиоматски систем потичу од Г. В. [[Лајбниц]]а. Суштински помаци су овде, као и у области математике, били учињени од друге половине [[19. век]]а. Значајне доприносе су изм. ост. пружили Г. Фреге и Д. Хилберт. - У току модерног развоја постепено је почео да се мења смисао „аксиоме“.
# независности
# потпуности
 
ПостојеДо данас су аксиоматски грађенадефинисане многе математичке теорије као што су [[геометрија]], [[аритметика]], [[теорија вероватноће]] итди друге.
Пресудан за избор одређених ставова као аксиома неке теорије сада је мање степен њихове очигледности него питање од које основе се дају што је могуће једноставније и елегантније извести истинити искази теорије. Истовремено се започело истраживање аксиоматских система у погледу садржинског тумачења њихових ставова као чисто формално одређених рачуна.
 
=====У геометрији=====
У емпиријским наукама, а посебно у физици, често се као аксиоме означавају веома уопштени ставови који су искуством потврђени у високом степену (нпр. [[Исак Њутн|њутн]]овске аксиоме механике).
 
Ако је на делу једна теорија у облику аксиоматског система, тада се она налази на веома узнапредовалом ступњу свог развоја. Први зачеци аксиоматизовања геометрије налазе се већ код [[Еуклид]]а (око 300. годне п. н. е.);, ада први габи је потпуно достигао [[Давид Хилберт|Д. Хилберт]] крајем 19. века потпуно аксиоматизовао. У расправи ο аксиоматском уобличавању геометрије, средишњу улогуспорна је играла тзв.била [[аксиома ο паралеламапаралелности]], која отирилике гласи: „Ако је α''а'' права, а ''Ρ'' тачка која не лежи на ''а'', тада у равни у којој леже α''а'' и ''Ρ'' постоји тачно једна права кроз ''Ρ'' којапаралелна неса сечеправом ''а,'' наиме паралела од а.“
Каткад се предузимао и покушај да се филозофске теорије према узору геометрије формулишу као аксиоматски системи. Познат је између осталог, труд [[Барух Спиноза|Б. Спинозе]] да на овај начин (-{''more geometrico''}-) представи [[етика]].
 
Иако ју је Еуклид формулисао као пету и последњу аксиому, с обзиром на изразиту разлику у односу на претходне четири, годинама је покушавано доказивање њеног тврђења из претходне четири аксиоме које данас спадају у [[Апсолутна геометрија|Апсолутну геометрију]]. Придруживањем пете аксиоме Апсолутној геометрији, добија се [[Еуклидска геометрија]], а придруживањем њене негације, добијају се [[нееуклидске геометрије]].
Посебно у геометрији, логици и математици као аксиоме се означавају такви ставови који су темељни за односну дисциплину: оне саме нису доказиве, него образују незаобилазну основу за [[доказ]] других ставова. Њихово оправдање се традиционално видело (прикључујући се [[Аристотел]]у и [[Еуклид]]у) у њиховом непосредно очигледном [[карактер]]у. [[Скуп]] ставова који се дели на аксиоме и последице из њих назива се аксиоматским системом.
 
=== =У математици логици====
Први покушаји да се [[логика]] формулише као аксиоматски систем потичу од Г. В. [[Лајбниц]]а. Суштински помаци су и овде, као и у области математике, били учињени од друге половине [[19. век]]а.века, уз Значајнезначајне доприносе су изм. ост. пружили Г. [[Фреге]]а и Д. [[Хилберт. - У току модерног развоја постепено је почео да се мења смисао „аксиоме“]]а.
'''Аксиома''' је исказ који се усваја без доказа и сматра као исходни за изградњу ове или оне математичке теорије.
 
У току модерног развоја постепено је почео да се мења смисао „аксиоме“. За избор одређених ставова као аксиома неке теорије, не узима се само степен њихове очигледности, већ се за аксиоме узимају ставови од којих је могуће што једноставније извести истините исказе теорије.
'''Систем аксиома''' као логични фундамент заснивања математичке теорије није увек завршен, па се као и саме аксиоме мења и усавршава. Систем аксиома мора да задовољава захтеве:
# непротивречности ([[Непротивречност система аксиома]]);
# независности ([[Независност система аксиома]]) и;
# потпуности ([[Потпуност система аксиома]]).
 
Истовремено са добијањем новог значења аксиоме, започело се на формулацији аксиоматских система у коме се ставови аксиома тумаче искључиво на основу формално одређених рачуна.
==== Примери ====
# Еуклидова аксиома паралелности ([[Плајферова аксиома]]): Кроз тачку А која не лежи на датој правој а, у равни која је одређена тачком А и правом а може се повући највише једна права a' паралелна правој а.
# [[Архимедова аксиома]]: за било која два броја a и b, који нису негативни, увек постоји природан број n, такав да важи неједнакост an>b.
# [[Аксиома Лобачевског]]: супротност Плајферове аксиоме.
# [[Хилбертове аксиоме]]: пет група аксиома којима је строго дефинисана савремена еуклидска геометрија.
# [[Дедекиндова аксиома]];
# [[Апстракција#Математика|Аксиома апстракције]].
 
====У филозофији====
Свака [[геометрија]] ([[афина геометрија|афина]], [[Еуклидова геометрија|Еуклидова]], [[пројективна геометрија|пројективна]], ...) има свој систем аксиома. Са друге стране, свака геометрија може бити дефинисана својом групом трансформација ([[Ерлангенски програм]]) или диференцијално геометријским својствима простора те геометрије.
КаткадПо сеузору предузимаона игеометрију, предузети су покушајпокушаји да се и филозофске теорије према узору геометрије формулишудефинишу као аксиоматски системи, попут математичких теорија. ПознатПознато је измеђуда осталог, трудје [[Барух Спиноза|Б. СпинозеСпиноза]] да на овај начин (-{''more geometrico''}-) покушао да представи [[етика|етику]].
 
====У емпиријским наукама====
Постоје аксиоматски грађена [[геометрија]], [[аритметика]], [[теорија вероватноће]] итд.
У емпиријским наукама, а посебно у физици, честопод аксиомама се као аксиомеобично означавају веома уопштени ставови који су искуством потврђени уискуством високомса степенујако (нпрвеликом вероватноћом. Неке од најпознатијих тако дефинисаних аксиома су [[Исак Њутн|њутн]]овскеове аксиоме механике).
 
[[Категорија:Семантика]]