Модуларна аритметика — разлика између измена

нема резимеа измене
м (Робот: додато hi:मॉड्युलर गणित)
'''Модуларна аритметика''' представља аритметички систем код кога се бројеви ''враћају у круг'', након што достигну одређену вредност — '''модуло'''. Модуларну аритметику је увео [[Карл Фридрих Гаус]] у свом чувеном делу ''-{[[Disquisitiones Arithmeticae]]}-'', објављеном [[1801]].
 
Општепозната примена модуларне аритметике је у 24-часовном мерењу времена: дан траје од поноћи до следеће поноћи, и подељен је на 24 часа, од 0 до 23. Ако је у одређеном тренутку 19:00 часова (седам увече), осам сати касније време не износи 27:00 (као код уобичајеног сабирања: 19 + 8 = 27), већ је тада 03:00 (наредног дана). Исто, ако је у одређеном тренутку подне (12:00), и од тог тренутка је протекао 21 час, сат ће показивати 09:00 наредног дана, а не 33:00 (као код уобичајеног сабирања). Како часови поново почињу од 00 након што прођу 24 сата, овде се ради о аритметици по ''модулу'' 24 — бројеви ''поново почињу од нуле'' након што достигну 24.
 
== Релација конгруенције ==
Модуларна аритметика се математички може посматрати увођењем релације [[релација конгруенцијеконгруенција|релације конгруенције]] на скупу [[цео број|целих бројева]], која је компатибилна са операцијама [[прстен (математика)|прстена]] целих бројева: [[сабирање]], [[одузимање]], и [[множење]]. За фиксирани модуо ''-{n}-'', дефинисана је на следећи начин.
 
Два цела броја ''-{a}-'' и ''-{b}-'' су '''конгруентна''' по '''модулу''' ''-{n}-'', ако је њихова разлика (-{a−b}-) цео број који је умножак (садржалац) од ''-{n}-''. Ако је ово тачно, записује се
 
== Остаци ==
Концепт модуларне аритметике је повезан са концептом [[остатак (математика)|остатка]] при [[дељење (математика)|дељењу]]. Операција налажења остатка је позната као операција модула, и понекад се записује као "-{mod}-", па пишемо "14 '''-{mod}-''' 12 = 2". Ово значење симбола "-{mod}-" је благо али значајно другачије од оног уведеног у овом чланку; тачно је рећи "38 ≡ 14 ('''-{mod}-''' 12)", али није тачно рећи "38 = 14 '''-{mod}-''' 12" — 38 је конгруентно са 14 по модулу 12, али остатак од 14 подељено са 12 је 2, не 38. Да би се избегли неспоразуми, релација конгруенције се некад записује као ''-{modulo}-'' уместо ''-{mod}-'' нпр. "38 ≡ 14 ('''-{modulo}-''' 12)" у [[рачунарство|рачунарству]].
 
Када се ради са модуларном аритметиком, свака класа еквиваленције се обично представља њеним најмањим ненегативним чланом.