Кардиоида — разлика између измена

'''Кардиоида''' ( од {{јез-грч|καρδία}}-срце и {{јез-грч|εἶδος}}-облик ) је крива, коју исцртава тачка на кружници, која се котрља без клизања око друге кружнице истога полупречника. Кардиоида је специјални случај [[епициклоида|епициклоиде]] када су обе кружнице истога полупречника.

 

У случају да се исходиште координатнога система постави на десни дијаметар непокретне кружнице то је управо на месту где се види шиљак кардиоиде. Тада кардиоида може да се представи помоћу параметарских једначина:

: <math>x = a \cos t (1 + \cos t)</math>

У поларним координатама облик је:

: <math>r = a (1 - \cos\varphi)</math>

У Декартовом систему облик је:

: <math>(x^2 + y^2)^2 - 2 a x (x^2 + y^2) - a^2 y^2 \, = \, 0</math> или

:<math>(x^2+y^2-ax)^2=a^2(x^2+y^2)\,</math>

 

:<math>l = {8a}</math>.

Доказ:

:<math>\int ||\dot \gamma(\theta)|| d \theta = \int_0^{2 \pi} \sqrt{\dot x^2 + \dot y^2} d \theta</math>, па онда следи:

:<math>\sqrt 2 a\int_0^{2 \pi} \sqrt{1 + cos \theta} d \theta = 2a \int_0^{2 \pi} |cos \frac{ \theta}{2}| d \theta = 8 a\left[ sin \frac{\theta}{2} \right]_0^{\pi} = 8a </math>

:<math>S = {3\over 2} \pi a^2</math>.

Доказ:

:<math>\frac{1}{2} \int_0^{2\pi} \rho^2 d \theta = \frac{1}{2}a^2 \int_0^{2\pi} (1 - cos \theta)^2 d \theta = \frac{3}{2}a^2\pi</math>

 

У оптици се кардиоида добија приликом рефлексије на површини кружнога облика.

 

{{Commonscat|Cardioids}}