Реалан број — разлика између измена
Садржај обрисан Садржај додат
мНема описа измене |
мНема описа измене |
||
Ред 28:
На слици десно, видимо специјалну посуду у коју можемо сипати течност несметано, све док ниво текућине не пређе подељак девет. Након тога посуда ће се сама испразнити до нуле. Аналогно сабирању децималних бројева потписаних по колонама.
Да бисмо ''помножили'' децимални број целим бројем један за којим следи неколико нула, треба да померимо запету удесно за по једно место за сваку нулу. Ако више нема децималних места, на десној страни треба дописати потребан број нула. На пример: 23,45х1000 = 23450.
Када ''множимо два децимална броја'', множимо их као да су цели, а затим у добијеном резултату стављамо онолико децималних цифара колико их имају оба фактора заједно. На пример, множимо 2,3 са 4,5. Прво 23х45=1035; затим, имамо укупно два децимална места; резултат 2,3х4,5 = 10,35.
Да бисмо ''поделили'' децимални број целим бројем један за којим следи неколико нула, треба померити запету улево, за по једно место за сваку нулу. Ако више нема цифара тог броја, на левој страни ћемо дописати преостале нуле. На пример 23,45:1000 = 0,02345.
== Апроксимација реалних бројева ==
Ред 42:
; Теорема 1: Ако је ''x'' позитиван реалан број, тада постоји јединствен број <math>n_0\in\{0,1,2,...\},</math> такав да је <math>n_0\le x <n_0+1.</math>
; Доказ: Према [[Архимед]]овој [[аксиома|аксиоми]], за -{b=x}- и -{a=1}-, постоји [[природан број]] -{n}- такав да је -{x<n·1=n}-. Међу свим таквим бројевима -{n}-, према аксиоми 2, постоји најмањи. Означимо га са n'. Дакле важи 0<x<n' (*). Због тога је -{n'-1≤x<n'}-. Наиме, ако би било -{n'-1>x}-, онда -{n'}- не би био најмањи број који испуњава претходни услов (*). Означимо ли -{n'-1=n<sub>0</sub>}-, добијамо тврђење [[теорема]]
== Децимални запис реалног броја ==
Ред 55:
== Мерење дужи, бројевна права ==
[[Датотека:Merenje-duzi.gif]]
; Дефиниција 3:Нека је свакој дужи AB придружен ''позитиван реалан број'' -{d(A,B)}-, при чему су испуњени следећи услови:
* За неку [[дуж]] OE важи -{d(O,E)=1}-.
* Ако је -{AB=CD}-, тада је -{d(A,B)=d(C,D)}-.
* Ако је [[Тачка (геометрија)|тачка]] -{C}- између тачака -{A}- и -{B}-, онда је -{d(A,B)=d(A,C)+d(C,B)}-.
: Тада се [[број]] -{d(A,B)}- зове ''дужина'' дужи -{AB}-.
Ако се у [[дефиниција|дефиницији]] дода услов да је -{d(A,A)=0}-, за сваку тачку -{А}-, онда се број -{d(A,B)}- зове ''растојање'' између тачака -{A}- и -{B}-.
== Уређено поље реалних бројева ==
; Дефиниција 4: За [[скуп]] <math>S\subset\mathbb{R},</math> кажемо да је ''ограничен одозго'' ако постоји бар један реалан број <math>M,</math> такав да је, за сваки <math>x\in S,\; x\le M.</math> Број М се у том случају зове ''мајоранта'' скупа -{S}-, или ''горња међа'' скупа -{S}-.
На пример скуп <math>S=\left\{\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{3}{4},...,\frac{n}{n+1},...\right\}</math> има мајоранту број 1, али је и сваки други реалан број који је већи од 1 такође мајоранта овог скупа. Скуп S=\{2,4,6,...,2n,...\} нема мајоранту, јер према [[Архимед]]овој [[аксиом]]и за било који <math>r\in\mathbb{R}</math> постоји природан број n такав да је <math>2\cdot n>r.</math>. Скуп непозитивних реалних бројева има најмању мајоранту нулу.
Ред 93:
CR заправо оствара реалне бројеве, јер сви остали аксиоми могли би се узети и за опис рационалних бројева, док онај задњи не би.
Тада уређену четворку (-{'''R'''}-, +, ·, ≤) зовемо ''уређено комплетно поље'' или ''поље реалних бројева''. Често га означавамо само са -{'''R'''}-. Услови -{(R1)-(R15)}- зову се ''аксиоми реалних бројева''. Из [[теорија група|теорије група]] и из претходне дефиниције, види се да у пољу -{'''R'''}- постоје једниствена нула (R2) и јединствена јединица (R7), да сваки елеменат х скупа '''R''', осим нуле, има (R3) јединствен супротни елеменат -х, и да сваки има (R8) јединствен инверзни елеменат <math>x^{-1}\equiv \frac{1}{x}.</math>
Операције сабирања и множења индукују алгебарску структуру у скупу -{'''R'''}- реалних бројева, а релација уређења индукује у -{'''R'''}- структуру [[структура тоталног уређења|талног уређења]].
Аксиоме 1-9 односе се на [[алгебарска структура|алгебарску структуру]] скупа реалних бројева, а аксиоме 10-12 на његову [[структура поретка|структуру поретка]]. Аксиоме 13-14 повезују те две структуре на скупу реалних бројева, тј. показују да је [[релација поретка]] "≤ " у сагласности са [[сабирање]]м и [[множење]]м у -{'''R'''}-. Зову се редом ''монотонија'' сабирања и множења.
[[Аксиома]] -{R15}- изражава важну особину скупа реалних бројева коју зовемо [[комплетност скупа]] -{'''R'''}-. Постоји више еквивалентних облика тог аксиома.
== Подскупови ==
|