Дискретна Фуријеова трансформација — разлика између измена
Садржај обрисан Садржај додат
м Бот: Селим 1 међујезичких веза, које су сад на Википодацима на d:q2878 |
м Разне исправке; козметичке измене |
||
Ред 1:
'''Дискретна Фуријеова трансформација''' или ДФТ јесте [[Фуријеова трансформација]] дискретног и коначног (или периодичног) сигнала. Дискретна Фуријеова трансформација је тиме и специјални облик [[З-трансформација|Z-трансформације]] код које се z
Дискретна Фуријеова трансформација може да послужи такође за апроксимацију (у одређеним случајевима и реконструкцију) функције која одговара сигналу или као имплементација дигиталних филтера.
Ред 5:
Путем инверзне Фуријеове трансформације се из Фуријеових коефицијената склапа излазни сигнал, а повезивањем ДФТ и инверзне ДФТ можемо да манипулишемо фреквенцијама (налази примену при еквилајзерима и филтерима).
== Дефиниција ==
Узмимо да је <math>R</math> комутативан, унитаран прстен, у којем је број <math>N</math> јединица. Даље, у <math>R</math> је <math>w</math> [[јединични корен]].
Ред 17:
<math>c_k = {1\over N}\sum_{j=0}^{N-1} w^{-j\cdot k}\cdot \hat c_j</math> за <math>k=0,\dots,N-1</math>
=== ДФТ и ИДФТ у комплексном домену ===
У комплексном домену користимо <math>w= e^{{2*\pi*k} \over n }, \quad k=0,1,\ldots, n-1</math>.
Ред 27:
<math>c_k=\frac 1 N \sum_{j=0}^{N-1} e^{2\pi \mathrm{i}\cdot\frac{jk}{N}}\cdot \hat c_j</math> за <math>k=0,\dots,N-1</math>
=== ДФТ и ИДФТ у реалном домену ===
Рачуница у реалном домену је:
Ред 58:
За ИДФТ можемо закључити следеће: Уколико за <math>\hat c\in\Bbb C^N</math> важи <math>\hat c_{N-k}=\overline{\hat c_k}</math> за све <math>k=0,\dots,N-1</math>, онда је ИДФТ реалан вектор <math>c\in\R^N</math>.
=== Померање и скалирање у времену и фреквенцији ===
Ако је сигнал периодичан, онда није битно да ли трансформишемо у опсегу <math>0,\dots,N-1</math> или <math>k,\dots,N-1+k</math>. Индексна променљива j треба да обухвати N опсег, али није битно где он почиње односно где се завршава (ово важи само за случај да је сигнал периодичан, тј. да се вектор <math>k,\dots,N-1+k</math> периодично понавља).
Ред 89:
</math>
== Примери ==
=== Пример филтера ===
Ситуација:
Звук који желимо да снимимо има следећи облик (када би га снимао аналоган микрофон):
[[
Пошто је наш микрофон дигиталан, ми можемо само да снимимо појединачне вредности. На нашем компјутеру добијамо:
[[
Наш циљ је да избацимо све фреквенције које су „тише“ (тј. које имају амплитуду) од 1 V.
Ред 157:
<math>c_i:\,</math>
10
Знамо да важи: <math>c_0 = a_0, c_{i>0} = \frac{1}{2}(a_i - b_i \mathrm{i})</math>. На тај начин можемо да израчунамо
:<math>
Ред 178:
Из <math>a_4=b_4 = 0\,</math> можемо да закључимо да фреквенција од 4 -{Hz}- нема у нашем сигналу. Често је врло згодно навести све амплитуде у графикону. Амплитуда <math>A_k\,</math> за неку фреквенцију <math>k</math> је <math>A_k = \sqrt{(a_k^2 + b_k^2 )}</math>. У нашем случају наш фреквентни спектрум изгледа овако:
[[
Све <math>a_i\,</math> и <math>b_i\,</math> за које важи <math>\sqrt{(a_i^2 + b_i^2 )} < 1</math> избацујемо и на крају добијамо реконструисану и обрађену функцију:
Ред 184:
:<math>f(t) = 10 + 3\cos(2 \omega t)\,</math>
[[
Сада можемо да поново да израчунамо <math>f(t_i)\,</math> или да се послужимо ИДФТ и тако прерађен сигнал снимимо у меморију.
=== Пример у -{C}--у ===
#include <stdio.h>
#include <math.h>
Ред 216:
{
// f[k] == f(t[k] );
coeff += cexp (- I * omega_n * t[k]) * f[ k
}
return coeff;
Ред 307:
}
== Референце ==
{{refbegin|2}}
* {{cite book
Ред 395:
| doi = 10.1109/TCSI.2004.836850
}}
* {{cite journal
| author=Shamgar Gurevich and Ronny Hadani
| title=On the diagonalization of the discrete Fourier transform
Ред 405:
| arxiv=0808.3281|arXiv
}}
* {{cite journal
| author=Shamgar Gurevich, Ronny Hadani, and Nir Sochen
| title=The finite harmonic oscillator and its applications to sequences, communication and radar
Ред 438:
== Види још ==
* [[Дуалност по Понтрјагину]]
[[Категорија:Дискретна математика]]
[[Категорија:Математичка анализа]]
[[Категорија:Дигитална обрада
[[cs:Fourierova transformace#Diskrétní Fourierova transformace]]
| |||