Сличне матрице — разлика између измена

Садржај обрисан Садржај додат
м Bot: Migrating 18 interwiki links, now provided by Wikidata on d:q254491 (translate me)
Autobot (разговор | доприноси)
м ispravke
Ред 1:
У [[математика|математици]], посебно [[линеарна алгебра|линеарној алгебри]], за две квадратне [[матрица|матрице]] -{''-{A''}-'' и -{''-{B''}-'' истог реда -{''-{n''}-'' кажемо да су '''сличне матрице''' ако је
:-{''-{A''&nbsp;=&nbsp;''S''<sup>&minus;1</sup>''BS''}-''
за неку [[инверзна матрица|инверзибилну]] матрицу -{''-{S''}-'' реда -{''-{n''}-''.
 
Еквивалентно, две матрице -{''-{A''}-'' и -{''-{B''}-'' су сличне ако су то матрице једног истог [[линеарно пресликавање|линеарног пресликавања]] неког [[векторски простор|векторског простора]] ''-{''V''}-'' у односу на две његове [[база векторског простора|базе]] -{'''''-{A}-'''''}- и -{'''''-{B}-'''''}-, редом. Притом је ''-{''A''&nbsp;=&nbsp;''S''<sup>&minus;1</sup>''BS''}-'' за [[матрица промене базе|матрицу]] -{''S''&nbsp;=&nbsp;''S''<sub>'''''A'''''&rarr;'''''B'''''</sub>}- промене координата при преласку са базе -{'''''-{A}-'''''}- на базу -{'''''-{B}-'''''}-.
 
Сличне матрице нису „сличне“ у лаичком смислу &mdash; оне могу изгледати наоко сасвим различито, као што и то што се неке две матрице разликују можда тек у неколико елемената не говори ништа о њиховој сличности.
 
Сличност матрица је [[релација еквиваленције]]. Једно од основних питања којима се бави линеарна алгебра јесте налажење, за дату матрицу ''-{''A}-''}-, у извесном смислу што „једноставније“ матрице ''-{''B''}-'' сличне матрици -{''-{A''}-''. Матрице сличне некој [[дијагонална матрица|дијагоналној матрици]] називају се [[дијагонализабилна матрица|дијагонализабилне]] (понегде дијагонабилне) матрице; доказује се да су такве, на пример, све ''-{''n''&nbsp;&times;&nbsp;''n''}-'' матрице са -{''-{n''}-'' различитих [[својствена вредност|својствених вредности]], али и неке друге. Са друге стране, свака [[комплексан број|комплексна]] матрица има јединствену [[Жорданова нормална форма|Жорданову нормалну форму]], која јој је слична; општије, свака матрица над ма којим [[поље (алгебра)|пољем]] -{''-{F''}-'' слична је тачно једној матрици у Жордановој нормалној форми над [[алгебарско затворење|алгебарским затворењем]] -{''F''<sup>&#126;</sup>}- и две матрице су међусобно сличне ако и само ако су њихове Жорданове форме идентичне (до на редослед блокова). Од интереса су и други [[канонски облици матрица]].
 
Сличност не зависи од поља: ако је -{''-{L''}-'' поље које садржи неко потпоље -{''-{K''}-'', тада су две матрице ''-{''A''}-'' и ''-{''B''}-'' над -{''-{K''}-'' сличне као матрице над ''-{''K''}-'' ако и само ако су сличне као матрице над -{''-{L''}-''.
 
Посебно, кажемо да су матрице пермутационо сличне ако се матрица -{''-{S''}-'' може изабрати тако да буде [[пермутациона матрица|пермутациона]], унитарно сличне ако се ''S'' може изабрати да буде [[унитарна матрица|унитарна]], итд. Према [[спектрална теорема|спектралној теореми]] је свака [[нормална матрица]] унитарно слична дијагоналној; посебно је свака реална [[симетрична матрица]] ортогонално и свака [[хермитска матрица]] унитарно дијагонализабилна.
 
Пресликавање -{''-{X''&nbsp;&rarr;&nbsp;''S''<sup>&minus;1</sup>''XS''}-'', [[конјугација (теорија група)|конјугација]] у смислу [[теорија група|теорије група]] у [[линеарна група|линеарној групи]] -{GL<sub>''n''</sub>}- инверзибилних ''-{''n''&nbsp;&times;&nbsp;''n''}-'' матрица, се назива пресликавањем сличности и [[аутоморфизам]] је [[алгебра над пољем|алгебре]] -{M<sub>''n''</sub>}- свих -{''-{n''&nbsp;&times;&nbsp;''n''}-'' матрица. Ако је -{''-{A''&nbsp;=&nbsp;''S''<sup>&minus;1</sup>''BS''}-'', онда је
:-{''-{f''(''A'')&nbsp;=&nbsp;''S''<sup>&minus;1</sup>''f''(''B'')''S''}-''
за ма који [[полином]], или општије ма коју функцију -{''-{f''}-'' [[аналитичка функција|аналитичку]] на домену у комплексној равни који садржи све својствене вредности матрице -{''-{A''}-''. Посебно, ако је -{''-{A''}-'' дијагонализабилна и -{''-{B''&nbsp;=&nbsp;diag(&nbsp;&lambda;<sub>1</sub>,&nbsp;&lambda;<sub>2</sub>,&nbsp;...&nbsp;&lambda;<sub>''n''</sub>&nbsp;)}- њој слична дијагонална матрица, тада су сви степени матрице -{''A''}-'' дати једноставном формулом
:-{''-{A''<sup>''t''</sup>&nbsp;=&nbsp;''S''<sup>&minus;1</sup>&nbsp;diag(&nbsp;&lambda;<sub>1</sub><sup>''t''</sup>,&nbsp;&lambda;<sub>2</sub><sup>''t''</sup>,&nbsp;...&nbsp;&lambda;<sub>''n''</sub><sup>''t''</sup>&nbsp;)&nbsp;''S''}-''.
Овај резултат се користи при решавању линеарног [[дискретан динамички систем|дискретног динамичког система]] -{'''x'''(&nbsp;''t''&nbsp;+&nbsp;1&nbsp;)&nbsp;=&nbsp;''A'' '''x'''(''t'')}-, чије је решење -{'''x'''(''t'')&nbsp;=&nbsp;''A''<sup>''t''</sup>&nbsp;'''x'''(0)}-. Аналогно сличне дијагоналне матрице помажу у решавању система линеарних диференцијалних једначина, односно [[непрекидни динамички систем|непрекидног динамичког система]]. Помоћу исте формуле се [[нумеричка математика|нумерички]] брзо и прецизно израчунава доминантна својствена вредност (својствена вредност највеће апсолутне вредности).