Хелмхолцова једначина — разлика између измена
Садржај обрисан Садржај додат
м Бот: Селим 20 међујезичких веза, које су сад на Википодацима на d:q860615 |
м ispravke; козметичке измене |
||
Ред 6:
== Извод ==
Може се приметити да у [[Херман фон Хелмхолц|Хелмхолцовој]] једначини нема оператора који представљају изводе по времену. Хелмхолцова једначина може да се добије из [[Таласна једначина|таласне једначине]]:
:<math>\left(\nabla^2-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial{t}^2}\right)u(\mathbf{r},t)=0.</math>
Претпоставља се да се таласна функција даде решити сепарацијом променљивих по простору и времену:
Ред 13:
:<math>{\nabla^2 A \over A } = {1 \over c^2 T } { d^2 T \over d t^2 }. </math> (3)
Лева страна једначине (3) овиси само о просторним координатама, а десна страна о времену. Због свега тога у општем случају обе стране једначине су једнаке некој константи, па добијамо две једначине:
:<math>{\nabla^2 A \over A } = -k^2 </math>
и
:<math> {1 \over c^2 T } { d^2 T \over dt^2 } = -k^2 </math> (5)
Ред 22:
:<math>\frac{d^2{T}}{d{t}^2} + \omega^2T = \left( { d^2 \over dt^2 } + \omega^2 \right) T = 0,</math>
При томе
==
За Хелмхолцову једначину:
:<math> ( \nabla^2 + k^2 ) A = 0 </math> (7)
Ред 43:
:<math>{1 \over r} {\partial A \over \partial r}
+ {\partial^2 A \over \partial r^2}
+ {1 \over r^2} {\partial^2 A \over \partial \phi^2} +(k^2 ) A = 0 </math>
Једначину покушавамо да решимо сепарацијом варијабли:
Ред 49:
гдеe Θ мора да буде периодична са периодом 2π. Одатле следи:
:<math> \Theta'' +n^2 \Theta =0, \, </math>
и
:<math> r^2 R'' + r R' + r^2 k^2 R - n^2 R=0. \, </math>
Решења од (9) и (10) су:
:<math> \Theta = \alpha \cos n\theta + \beta \sin n\theta, \,</math>
Ред 60:
:<math> \rho^2 J_n'' + \rho J_n' +(\rho^2 - n^2)J_n =0, </math>
=== Тродимензионално решење у сферним координатама ===
У [[сферне координате|сферним координатама]] опште решење Хелмхолцове једначине је:
: <math> A (r, \theta, \varphi)= \sum_{\ell=0}^\infty \sum_{m=-\ell}^\ell ( a_{\ell m} j_\ell ( k r ) + b_{\ell m} y_\ell ( k r ) ) Y ^ m_\ell ( { \theta,\varphi} ) .</math>
где су
<math> j_\ell ( k r ) </math> и <math> y_\ell ( k r )</math> [[сферна Беселова функција|сферне Беселове функције]], а
== Нехомогена Хелмхолцова једначина ==
Нехомогена Хелмхолцова једначина:
: <math> (\Delta + k^2)U=f </math>
Ред 92:
</math>
== Литература ==
* -{Korn GA and Korn TM. (1961) ''Mathematical Handbook for Scientists and Engineers'', McGraw-Hill.}-
* -{Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965),
* -{Morse PM, Feshbach H (1953). Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill.
* [http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/lpde/lpde303.pdf Хелмхолцове једначине]
[[Категорија:Диференцијалне једначине]]
| |||