|
==Скаларна таласна једначина у три просторне димензије==
Решење тродимензионалног проблема почетних вредности може да се добије из решења једначине за сферне таласе. Тај резултат онда може да се сведе на дводимензионални случај.
<!--The solution of the initial-value problem for the wave equation in three space dimensions can be obtained from the solution for a spherical wave. This result can then be used to obtain the solution in two space dimensions.-->
===Сферни таласи===
Скаларна таласна једначина остаје неизмењена при ротацији просторних координата и стога може да се очекује да постоји решење које зависи само од радијалног растојања од одабране тачке. Такво решење мора да задовољи
<!--The wave equation is unchanged under rotations of the spatial coordinates, and therefore one may expect to find solutions that depend only on the radial distance from a given point. Such solutions must satisfy-->
:<math> u_{tt} - c^2 \left( u_{rr} + \frac{2}{r} u_r \right) =0. \,</math>
Ова једначина може да се напише и као
<!--This equation may be rewritten as
-->
:<math> (ru)_{tt} -c^2 (ru)_{rr}=0; \,</math>
величина ''ru'' задовољава једнодимензионалну таласну једначину Стога, постоје решења у облику
<!--the quantity ''ru'' satisfies the one-dimensional wave equation. Therefore there are solutions in the form
-->
:<math> u(t,r) = \frac{1}{r} F(r-ct) + \frac{1}{r} G(r+ct), \,</math>
<!--whereгде су ''F'' andи ''G'' areпроизвољне arbitrary functionsфункције. EachСваки termчлан mayможе beда interpretedсе asтумачи aкао sphericalсферни waveталас thatкоји expandsсе orшири contractsили withскупља (контрахује) брзином velocity ''c''. Такве таласе ствара тачкасти извор. <!-- Such waves are generated by a [[point source]], and they make possible sharp signals whose form is altered only by a decrease in amplitude as ''r'' increases. Such waves exist only in cases of space with odd dimensions. Fortunately, we live in a world that has three space dimensions, so that we can communicate clearly with acoustic and electromagnetic waves.-->
===Решење општег проблема почетних вредности===
| 